Trigonometri formülleri tablosu. Trigonometrinin temel formülleri

“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

\(\blacktriangleright\) Dikdörtgen bir koordinat sistemi ve bu sistemin içinde birim yarıçapı ve başlangıç noktasında merkezi olan bir daire düşünün.

\(1^\circ\) cinsinden açı- bu, uzunluğu tüm dairenin uzunluğuna \(\dfrac1(360)\) eşit olan bir yayın üzerinde duran merkez açıdır.

\(\blacktriangleright\) Tepe noktasının dairenin merkezinde olduğu ve bir kenarın her zaman \(Ox\) ekseninin pozitif yönü ile çakıştığı daire üzerindeki açıları dikkate alacağız (şekilde kırmızıyla vurgulanmıştır) .
Köşeler bu şekilde işaretlenir \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\):

\(0^\circ\) açısının, her iki tarafı da \(Ox\) ekseninin pozitif yönüyle çakışan bir açı olduğuna dikkat edin.

Böyle bir açının ikinci tarafının \(\alpha\) daireyle kesiştiği noktaya \(P_(\alpha)\) adı verilecektir.
\(P_(0)\) noktasının konumuna başlangıç konumu adı verilecektir.

Böylece bir daire içinde dönüş yaptığımızı söyleyebiliriz. ilk pozisyon\(P_0\)'ı \(P_(\alpha)\) açısına göre \(\alpha\) konumuna getirin.

\(\blacktriangleright\) Bir daire içinde saat yönünün tersine dönüş, pozitif bir dönüştür. Saat yönünde dönüş negatif bir dönüştür.

Örneğin, şekilde köşeler işaretlenmiştir \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\):

\(\blacktriangleright\) Bir daire üzerindeki \(P_(30^\circ)\) noktasını düşünün. Başlangıç konumundan \(P_(30^\circ)\ noktasına kadar bir daire içinde dönmek için, \(30^\circ\) (turuncu) açısı boyunca döndürmeniz gerekir. Eğer tam bir devrim yaparsak (yani, \(360^\circ\) ) ve bir kez daha \(30^\circ\) dönüş yaparsak, o zaman zaten bir dönüş yapmış olmamıza rağmen tekrar bu noktaya geleceğiz. bir açı \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\)(mavi). Bu noktaya \(-330^\circ\) (yeşil) yönüne dönerek de ulaşabiliriz. \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) vesaire.

Böylece çember üzerindeki her nokta sonsuz sayıda açıya karşılık gelir ve bu açılar birbirinden tam devir sayısı kadar farklılık gösterir ( \(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb(Z)\)).
Örneğin, \(30^\circ\) açısı \(360^\circ\) açıdan \(-330^\circ\) daha büyüktür ve \(2\cdot 360^\circ\) açıdan küçüktür \(750^\circ\) .

\(P_(30^\circ)\) noktasında bulunan tüm açılar şu şekilde yazılabilir: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \n\in\mathbb(Z)\).

\(\siyahüçgensağ\) \(1\) radyan cinsinden açı- bu, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir yayın üzerinde duran merkezi açıdır:

Çünkü \(R\) yarıçaplı tüm dairenin uzunluğu \(2\pi R\)'ye eşittir ve derece ölçüsü olarak - \(360^\circ\), o zaman şunu elde ederiz: \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf(rad)\), Neresi \ Bu, dereceleri radyana (veya tam tersi) dönüştürebileceğiniz temel formüldür.

Örnek 1.\(60^\circ\) açısının radyan ölçüsünü bulun.

Çünkü \(180^\circ = \pi \Rightarrow 1^\circ = \dfrac(\pi)(180) \Rightarrow 60^\circ=\dfrac(\pi)3\)

Örnek 2.\(\dfrac34 \pi\) açısının derece ölçüsünü bulun.

Çünkü \(\pi=180^\circ \Rightarrow \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).

Genellikle yazarlar, örneğin, yazmazlar \(\dfrac(\pi)4 \text( rad)\), ancak basitçe \(\dfrac(\pi)4\) (yani "rad" ölçü birimi atlanmıştır). Bir açı yazarken derecelerin belirtilmesine lütfen dikkat edin. düşürme. Dolayısıyla, "açı \(1\)'a eşittir" yazarak "açı \(1\) dereceye eşittir"i değil, "açı \(1\) radyana eşittir"i kastediyoruz.

Çünkü \(\pi \thickappprox 3,14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3,14 \textbf(rad) \Rightarrow 1 \textbf(rad) \thickappprox 57^\circ\).
Problemlerde böyle yaklaşık bir ikame yapılamaz, ancak derece cinsinden \(1\) radyanın yaklaşık olarak eşit olduğunu bilmek çoğu zaman bazı problemlerin çözümüne yardımcı olur. Örneğin, bu şekilde bir daire üzerinde \(5\) radyanlık bir açı bulmak daha kolaydır: bu yaklaşık olarak \(285^\circ\) değerine eşittir.

\(\blacktriangleright\) Planimetri (düzlemde geometri) sürecinden şunu biliyoruz: açılar için \(0<\alpha< 90^\circ\) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
kenarları \(a, b, c\) ve açısı \(\alpha\) olan bir dik üçgen verilirse, o zaman:

Çünkü birim çember üzerinde herhangi bir açı tanımlanır \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\), o zaman herhangi bir açı için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı belirlemeniz gerekir.
Birim çemberi ve onun üzerindeki \(\alpha\) açısını ve karşılık gelen \(P_(\alpha)\) noktasını düşünün:

\(P_(\alpha)K\) dikmesini \(P_(\alpha)\) noktasından \(Ox\) eksenine indirelim. Bir dik üçgen \(\triangle OP_(\alpha)K\) elde ederiz ve bundan şunu elde ederiz: \[\sin\alpha=\dfrac(P_(\alpha)K)(P_(\alpha)O) \qquad \cos \alpha=\dfrac(OK)(P_(\alpha)O)\]\(OK\) parçasının \(P_(\alpha)\) noktasının abscissa \(x_(\alpha)\)'sından ve \(P_(\alpha)K\) segmentinden başka bir şey olmadığına dikkat edin. ordinat \(y_(\alpha)\) . Ayrıca şuna da dikkat edin: birim çemberi aldık, o zaman \(P_(\alpha)O=1\) onun yarıçapıdır.
Böylece, \[\sin\alpha=y_(\alpha), \qquad \cos \alpha=x_(\alpha)\]

Dolayısıyla, eğer \(P_(\alpha)\) noktasının koordinatları \((x_(\alpha)\,;y_(\alpha))\) varsa, o zaman karşılık gelen açı boyunca koordinatları \(( \ cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .

Tanım: 1. \(\alpha\) açısının sinüsü, birim çember üzerinde bu açıya karşılık gelen \(P_(\alpha)\) noktasının ordinatıdır.

2. \(\alpha\) açısının kosinüsü, birim çember üzerinde bu açıya karşılık gelen \(P_(\alpha)\) noktasının apsisidir.

Bu nedenle, \(Oy\) eksenine sinüs ekseni, \(Ox\) eksenine kosinüs ekseni adı verilir.

\(\blacktriangleright\) Daire, şekilde gösterildiği gibi \(4\) dörde bölünebilir.

Çünkü \(I\) çeyreğinde tüm noktaların hem apsisi hem de koordinatları pozitiftir, bu durumda bu çeyrekteki tüm açıların kosinüsleri ve sinüsleri de pozitiftir.
Çünkü \(II\) çeyreğinde, tüm noktaların koordinatları pozitif ve apsisler negatiftir, bu durumda bu çeyrekteki tüm açıların kosinüsleri negatiftir ve sinüsler pozitiftir.
Benzer şekilde, kalan çeyrekler için sinüs ve kosinüsün işaretini belirleyebilirsiniz.

Örnek 3.Örneğin, \(P_(\frac(\pi)(6))\) ve \(P_(-\frac(11\pi)6)\) noktaları çakıştığı için koordinatları eşittir, yani. \(\sin\dfrac(\pi)6=\sin \left(-\dfrac(11\pi)6\right),\ \cos \dfrac(\pi)6=\cos \left(-\dfrac( 11\pi)6\sağ)\).

Örnek 4.\(P_(\alpha)\) ve \(P_(\pi-\alpha)\) noktalarını düşünün. Kolaylık olması açısından \(0) olsun<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .

\(Ox\) : \(OK\) ve \(OK_1\) eksenlerine dik çizelim. \(OKP_(\alpha)\) ve \(OK_1P_(\pi-\alpha)\) üçgenlerinin hipotenüs ve açıları ( \(\angle P_(\alpha)OK=\angle P_(\pi-\alpha)OK_1=\alpha\)). Buradan, \(OK=OK_1, KP_(\alpha)=K_1P_(\pi-\alpha)\). Çünkü nokta koordinatları \(P_(\alpha)=(OK;KP_(\alpha))=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) ve noktalar \(P_(\pi-\alpha)=(-OK_1;K_1P_(\pi-\alpha))=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\), buradan, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

Bu şekilde diğer formüller denir azaltma formülleri: \[(\large(\begin(array)(l|r) \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \sin \left(\dfrac(\pi)2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac (\pi)2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\ \hline \end(array)))\]

Bu formülleri kullanarak herhangi bir açının sinüsünü veya kosinüsünü bulabilir, bu değeri \(I\) çeyreğinden itibaren açının sinüsüne veya kosinüsüne düşürebilirsiniz.

İlk çeyrekteki açıların sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri ve kotanjantları tablosu:
\[(\large(\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|) \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac(\pi)6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac(\pi)4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac(\pi)3 \quad (60^\circ) )& \quad \dfrac(\pi)2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac(\sqrt2)2&\frac(\sqrt3) 2&1\\ \hline \cos &1&\frac(\sqrt3)2&\frac(\sqrt2)2&\frac12&0\\ \hline \mathrm(tg) &0 &\frac(\sqrt3)3&1&\sqrt3&\infty\\ \hline \mathrm(ctg) &\infty &\sqrt3&1&\frac(\sqrt3)3&0\\ \hline \end(array)))\]

Bu değerlerin “Düzlemde geometri (planimetri)” bölümünde görüntülendiğine dikkat edin. Bölüm II” konusunun “Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant hakkında ilk bilgiler” konusuna bakın.

Örnek 5.\(\sin(\dfrac(3\pi)4)\) öğesini bulun.

Açıyı dönüştürelim: \(\dfrac(3\pi)4=\dfrac(4\pi-\pi)(4)=\pi-\dfrac(\pi)4\)

Böylece, \(\sin(\dfrac(3\pi)4)=\sin\left(\pi-\dfrac(\pi)4\right)=\sin\dfrac(\pi)4=\dfrac(\sqrt2) 2\).

\(\blacktriangleright\) İndirgeme formüllerini hatırlamayı ve kullanmayı kolaylaştırmak için aşağıdaki kuralı uygulayabilirsiniz.

Dava 1.\(n\cdot \pi\pm \alpha\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]

Bir açının işareti hangi çeyreğin içinde olduğu belirlenerek bulunabilir. Bu kuralı kullanarak, \(\alpha\) açısının \(I\) çeyreğinde olduğunu varsayıyoruz.

Durum 2. Açı, \(n\in\mathbb(N)\) şeklinde temsil edilebiliyorsa, o zaman \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine \(n\cdot \pi\pm \alpha\) açısının sinüsünün işareti vardır. \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine \(n\cdot \pi\pm \alpha\) açısının kosinüsünün işaretidir.

İşaret \(1\) durumunda olduğu gibi belirlenir.

İlk durumda fonksiyonun değişmeden kaldığını ve ikinci durumda değiştiğini unutmayın (fonksiyonun bir ortak fonksiyona dönüştüğünü söylüyorlar).

Örnek 6.\(\sin \dfrac(13\pi)(3)\) öğesini bulun.

Açıyı dönüştürelim: \(\dfrac(13\pi)(3)=\dfrac(12\pi+\pi)(3)=4\pi+\dfrac(\pi)3\), buradan, \(\sin \dfrac(13\pi)(3)=\sin \left(4\pi+\dfrac(\pi)3\right)=\sin\dfrac(\pi)3=\dfrac(\sqrt3) 2\)

Örnek 7.\(\cos \dfrac(17\pi)(6)\) öğesini bulun.

Açıyı dönüştürelim: \(\dfrac(17\pi)(6)=\dfrac(18\pi-\pi)(6)=3\pi-\dfrac(\pi)6\), buradan, \(\cos \dfrac(17\pi)(6)=\cos \left(3\pi-\dfrac(\pi)6\right)=-\cos\dfrac(\pi)6=-\dfrac( \sqrt3)2\)

\(\siyahüçgensağ\) Sinüs ve kosinüs değerleri aralığı.
Çünkü birim çember üzerindeki herhangi bir \(P_(\alpha)\) noktasının \(x_(\alpha)\) ve \(y_(\alpha)\) koordinatları \(-1\) ila \ aralığındadır (1\) ve \(\cos\alpha\) ve \(\sin\alpha\) sırasıyla bu noktanın apsisi ve ordinatıdır, o zaman \[(\large(-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1))\]

Pisagor teoremine göre bir dik üçgenden şunu elde ederiz: \(x^2_(\alpha)+y^2_(\alpha)=1^2\)
Çünkü \(x_(\alpha)=\cos\alpha,\ y_(\alpha)=\sin\alpha \Rightarrow\) \[(\large(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)) - \textbf(temel trigonometrik kimlik (GTT))\]

\(\siyahüçgensağ\) Teğet ve kotanjant.

Çünkü \(\mathrm(tg)\,\alpha=\dfrac(\sin\alpha)(\cos\alpha), \cos\alpha\ne 0\)

\(\mathrm(ctg)\,\alpha=\dfrac(\cos\alpha)(\sin\alpha), \sin\alpha\ne 0\), O:

1) \((\large(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(ctg)\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0))\)

2) teğet ve kotanjant \(I\) ve \(III\) çeyreklerde pozitif, \(II\) ve \(IV\) çeyreklerde negatiftir.

3) teğet ve kotanjant değer aralığı - tüm gerçek sayılar, yani. \(\mathrm(tg)\,\alpha\in\mathbb(R), \ \mathrm(ctg)\,\alpha\in\mathbb(R)\)

4) Teğet ve kotanjant için indirgeme formülleri de tanımlanmıştır.

Dava 1. \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\)) açısının tanjantının işareti vardır. \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine açı kotanjantının işareti \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ) olur.

Durum 2. Açı şu şekilde temsil edilebilirse \(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm\alpha\), burada \(n\in\mathbb(N)\) , sonra \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] burada \(\bigodot\) yerinde \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ) açısının tanjantının bir işareti vardır. \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ) açısı kotanjantının işareti vardır.

5) teğet eksen, sinüs eksenine paralel \((1;0)\) noktasından geçer ve teğet eksenin pozitif yönü, sinüs ekseninin pozitif yönü ile çakışır;
kotanjant ekseni, kosinüs eksenine paralel \((0;1)\) noktasından geçer ve kotanjant ekseninin pozitif yönü, kosinüs ekseninin pozitif yönüyle çakışır.

Teğet ekseni örneğini kullanarak bu gerçeğin kanıtını vereceğiz.

\(\triangle OP_(\alpha)K \sim \triangle AOB \Rightarrow \dfrac(P_(\alpha)K)(OK)=\dfrac(BA)(OB) \Rightarrow \dfrac(\sin\alpha)( \cos\alpha)=\dfrac(BA)1 \Rightarrow BA=\mathrm(tg)\,\alpha\).

Dolayısıyla, \(P_(\alpha)\) noktası düz bir çizgiyle dairenin merkezine bağlıysa, bu düz çizgi teğet çizgiyi değeri \(\mathrm(tg)\) olan bir noktada kesecektir. ,\alfa\) .

6) Aşağıdaki formüller ana trigonometrik özdeşlikten kaynaklanır: \ İlk formül, OTT'nin sağ ve sol taraflarını \(\cos^2\alpha\)'ya, ikincisi ise \(\sin^2\alpha\)'ye bölerek elde edilir.

Lütfen kosinüsün sıfır olduğu açılarda tanjantın tanımlanmadığını unutmayın (bu \(\alpha=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\));
kotanjant sinüsün sıfır olduğu açılarda tanımlanmamıştır (bu \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb(Z)\)).

\(\siyahüçgensağ\) Kosinüsün düzgünlüğü ve sinüsün tekliği, teğet, kotanjant.

Bir \(f(x)\) fonksiyonunun \(f(-x)=f(x)\) olsa bile çağrıldığını hatırlayın.

\(f(-x)=-f(x)\) ise bir fonksiyona tek denir.

Daireden, \(\alpha\) açısının kosinüsünün, herhangi bir \(\alpha\) değeri için \(-\alpha\) açısının kosinüsüne eşit olduğu görülebilir:

Dolayısıyla kosinüs çift bir fonksiyondur; bu, \[(\Large(\cos(-x)=\cos x))\] formülünün doğru olduğu anlamına gelir

Daireden, herhangi bir \(\alpha\) değeri için \(\alpha\) açısının sinüsünün \(-\alpha\) açısının sinüsüne zıt olduğu açıktır:

Dolayısıyla sinüs tek bir fonksiyondur, bu da formülün doğru olduğu anlamına gelir \[(\Büyük(\sin(-x)=-\sin x))\]

Teğet ve kotanjant da tek fonksiyonlardır: \[(\Large(\mathrm(tg)\,(-x)=-\mathrm(tg)\,x))\] \[(\Large(\mathrm(ctg)\,(-x)=-\mathrm(ctg)\,x))\]

Çünkü \(\mathrm(tg)\,(-x)=\dfrac(\sin (-x))(\cos(-x))=\dfrac(-\sin x)(\cos x)=-\mathrm (tg)\,x \qquad \mathrm(ctg)\,(-x)=\dfrac(\cos(-x))(\sin(-x))=-\mathrm(ctg)\,x\))

Uygulamada görüldüğü gibi, Birleşik Devlet Sınavında okul çocuklarının karşılaştığı matematiğin en zor bölümlerinden biri trigonometridir. Üçgenlerde en boy oranları bilimi 8. sınıfta öğrenilmeye başlanır. Bu tür denklemler trigonometrik fonksiyonların işareti altında bir değişken içerir. Bunların en basitleri olmasına rağmen: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) - neredeyse herkese tanıdık geliyor okul çocuğu, bunların uygulanması genellikle zordur.

Profil düzeyinde matematikte Birleşik Devlet Sınavında, doğru çözülmüş bir trigonometri görevi çok yüksek derecelendirilir. Bir öğrenci bu bölümdeki bir görevi doğru bir şekilde tamamladığında en fazla 4 birincil puan alabilir. Bunu yapmak için, Birleşik Devlet Sınavı için trigonometri üzerine hile sayfaları aramak neredeyse anlamsızdır. En makul çözüm sınava iyi hazırlanmaktır.

Nasıl yapılır?

Matematikte Birleşik Devlet Sınavında trigonometrinin sizi korkutmamasını sağlamak için hazırlanırken portalımızı kullanın. Kullanışlı, basit ve etkilidir. Eğitim portalımızın hem Moskova hem de diğer şehirlerdeki öğrencilere açık olan bu bölümünde, Birleşik Devlet Sınavı için trigonometriye ilişkin teorik materyal ve formüller erişilebilir bir şekilde sunulmaktadır. Ayrıca tüm matematiksel tanımlar için, bunları çözme sürecinin ayrıntılı bir açıklamasını içeren örnekler seçtik.

Birleşik Devlet Sınavına hazırlık için "Trigonometri" bölümündeki teoriyi inceledikten sonra, edinilen bilginin daha iyi özümsenmesi için "Kataloglar" a gitmenizi öneririz. Burada ilgilendiğiniz bir konudaki sorunları seçebilir ve çözümlerini görüntüleyebilirsiniz. Bu nedenle Birleşik Devlet Sınavında trigonometri teorisinin tekrarlanması mümkün olduğu kadar etkili olacaktır.

Neyi bilmeniz gerekiyor?

Öncelikle \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) dar açılarının \(0°\) ile \(90°) arasındaki değerlerini öğrenmeniz gerekir. \). Ayrıca Moskova'daki Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken trigonometri problemlerini çözmenin temel yöntemlerini hatırlamakta fayda var. Görevleri tamamlarken denklemi en basit haline indirmeniz gerektiğine dikkat edilmelidir. Bunu şu şekilde yapabilirsiniz:

denklemin çarpanlara ayrılması;
bir değişkenin değiştirilmesi (cebirsel denklemlere indirgeme);
homojen bir denklem elde edilir;
yarım köşeye doğru ilerliyoruz;
ürünleri toplamlara dönüştürmek;
bir yardımcı açı girerek;
evrensel ikame yöntemini kullanarak.

Bu durumda çoğu zaman öğrenci çözüm sırasında listelenen yöntemlerden birkaçını kullanmak zorunda kalır.

Trigonometrik dönüşümler gerçekleştirirken şu ipuçlarını izleyin:

Örneğe baştan sona hemen bir çözüm bulmaya çalışmayın.
Örneğin tamamını bir kerede dönüştürmeye çalışmayın. İleriye doğru küçük adımlar atın.
Trigonometrideki trigonometrik formüllere ek olarak, tüm adil cebirsel dönüşümleri (paranteze alma, kesirleri kısaltma, kısaltılmış çarpma formülleri vb.) kullanabileceğinizi unutmayın.
Her şeyin iyi olacağına inanın.

Temel trigonometrik formüller

Trigonometrideki formüllerin çoğu genellikle hem sağdan sola hem de soldan sağa kullanılır, bu nedenle bu formülleri o kadar iyi öğrenmeniz gerekir ki, bazı formülleri her iki yönde de kolayca uygulayabilirsiniz. Öncelikle trigonometrik fonksiyonların tanımlarını yazalım. Bir dik üçgen olsun:

O halde sinüsün tanımı:

Kosinüs tanımı:

Teğet tanımı:

Kotanjant tanımı:

Temel trigonometrik kimlik:

Temel trigonometrik özdeşliğin en basit sonuçları:

Çift açı formülleri.Çift açının sinüsü:

Çift açının kosinüsü:

Çift açının tanjantı:

Çift açının kotanjantı:

Ek trigonometrik formüller

Trigonometrik toplama formülleri. Toplamın sinüsü:

Farkın sinüsü:

Toplamın kosinüsü:

Farkın kosinüsü:

Toplamın tanjantı:

Farkın tanjantı:

Miktarın kotanjantı:

Farkın kotanjantı:

Bir toplamı ürüne dönüştürmek için trigonometrik formüller. Sinüslerin toplamı:

Sinüs farkı:

Kosinüslerin toplamı:

Kosinüs farkı:

Teğetlerin toplamı:

Teğet fark:

Kotanjantların toplamı:

Kotanjant farkı:

Bir çarpımı toplama dönüştürmek için trigonometrik formüller. Sinüslerin çarpımı:

Sinüs ve kosinüs çarpımı:

Kosinüslerin çarpımı:

Derece indirgeme formülleri.

Yarım açı formülleri.

Trigonometrik indirgeme formülleri

Kosinüs fonksiyonu denir ortak işlev sinüs fonksiyonları ve bunun tersi. Benzer şekilde teğet ve kotanjant fonksiyonlar da eş fonksiyonlardır. İndirgeme formülleri aşağıdaki kurala göre formüle edilebilir:

İndirgeme formülünde 90 dereceden veya 270 dereceden bir açı çıkarılırsa (eklenirse), azaltılmış fonksiyon bir ortak fonksiyona dönüşür;
İndirgeme formülünde açı 180 dereceden veya 360 dereceden çıkarılırsa (eklenirse), azaltılmış fonksiyonun adı korunur;
Bu durumda, çıkarılan (eklenen) açının dar olduğunu düşünürsek, azaltılmış (yani orijinal) fonksiyonun karşılık gelen çeyrekte sahip olduğu işaret, azaltılmış fonksiyonun önüne yerleştirilir.

Azaltma formülleri tablo şeklinde verilmiştir:

İle trigonometrik daire Trigonometrik fonksiyonların tablosal değerlerini belirlemek kolaydır:

Trigonometrik denklemler

Belirli bir trigonometrik denklemi çözmek için, aşağıda tartışılacak olan en basit trigonometrik denklemlerden birine indirgenmesi gerekir. Bunun için:

Yukarıda verilen trigonometrik formülleri kullanabilirsiniz. Aynı zamanda örneğin tamamını bir anda dönüştürmeye çalışmanıza gerek yok, küçük adımlarla ilerlemeniz gerekiyor.
Bazı ifadeleri cebirsel yöntemler kullanarak dönüştürme olasılığını unutmamalıyız; örneğin, parantezlerden bir şey çıkarın veya tam tersine parantezleri açın, bir kesri azaltın, kısaltılmış bir çarpma formülü uygulayın, kesirleri ortak bir paydaya getirin vb.
Trigonometrik denklemleri çözerken şunları kullanabilirsiniz: gruplama yöntemi. Birkaç faktörün çarpımının sıfıra eşit olması için herhangi birinin sıfıra eşit olmasının yeterli olduğu unutulmamalıdır ve geri kalanı vardı.
Başvuruyor değişken değiştirme yöntemi Her zamanki gibi, değiştirmeyi uyguladıktan sonra denklem daha basit hale gelmeli ve orijinal değişkeni içermemelidir. Ayrıca ters değiştirme yapmayı da hatırlamanız gerekir.
Homojen denklemlerin trigonometride sıklıkla ortaya çıktığını unutmayın.
Modülleri açarken veya trigonometrik fonksiyonlarla irrasyonel denklemleri çözerken, karşılık gelen denklemleri sıradan fonksiyonlarla çözmenin tüm inceliklerini hatırlamanız ve hesaba katmanız gerekir.
ODZ'yi hatırlayın (trigonometrik denklemlerde, ODZ üzerindeki kısıtlamalar esas olarak sıfıra bölünemeyeceğiniz gerçeğine iner, ancak diğer kısıtlamaları, özellikle de rasyonel güçlerdeki ve çift güçlerin kökleri altındaki ifadelerin pozitifliği hakkında unutmayın). Ayrıca sinüs ve kosinüs değerlerinin yalnızca eksi bir ile artı bir arasında olabileceğini unutmayın.

Önemli olan ne yapacağınızı bilmiyorsanız en azından bir şeyler yapın ve asıl önemli olan trigonometrik formülleri doğru kullanmaktır. Eğer elde ettiğiniz şey giderek daha iyi hale gelirse çözüme devam edin, daha da kötüye giderse en başa dönüp başka formüller uygulamaya çalışın, doğru çözüme ulaşana kadar bunu yapın.

En basit trigonometrik denklemlerin çözümleri için formüller. Sinüs için çözümü yazmanın iki eşdeğer biçimi vardır:

Diğer trigonometrik fonksiyonlar için gösterim açıktır. Kosinüs için:

Teğet için:

Kotanjant için:

Bazı özel durumlarda trigonometrik denklemlerin çözümü:

Fizikteki tüm formülleri ve yasaları, matematikteki formülleri ve yöntemleri öğrenin. Aslında bunu yapmak da çok basit; fizikte sadece 200 kadar gerekli formül var, hatta matematikte bundan biraz daha az. Bu konuların her birinde, temel düzeydeki karmaşıklıktaki problemleri çözmek için yaklaşık bir düzine standart yöntem vardır ve bunlar da öğrenilebilir ve böylece CT'nin çoğunu doğru zamanda tamamen otomatik olarak ve zorluk yaşamadan çözebilirsiniz. Bundan sonra sadece en zor görevleri düşünmeniz gerekecek.

Fizik ve matematikte prova testinin üç aşamasına da katılın. Her iki seçeneğe de karar vermek için her RT iki kez ziyaret edilebilir. Yine CT'de sorunları hızlı ve verimli bir şekilde çözme becerisinin yanı sıra formül ve yöntem bilgisine ek olarak, zamanı doğru bir şekilde planlayabilmeniz, kuvvetleri dağıtabilmeniz ve en önemlisi cevap formunu hiçbir şey yapmadan doğru bir şekilde doldurabilmeniz gerekir. Cevapların ve sorunların sayısını veya kendi soyadınızı karıştırmak. Ayrıca RT sırasında, DT'deki hazırlıksız bir kişiye çok alışılmadık gelebilecek problemlerde soru sorma tarzına alışmak önemlidir.

Bu üç noktanın başarılı, özenli ve sorumlu bir şekilde uygulanması, CT'de yapabildiğiniz maksimum düzeyde mükemmel bir sonuç göstermenize olanak sağlayacaktır.

Bir hata mı buldunuz?

Eğitim materyallerinde bir hata bulduğunuzu düşünüyorsanız lütfen e-posta ile yazınız. Ayrıca sosyal ağdaki () bir hatayı da bildirebilirsiniz. Mektupta konuyu (fizik veya matematik), konunun veya testin adını veya numarasını, problemin numarasını veya metinde (sayfada) sizce hatanın olduğu yeri belirtin. Ayrıca şüphelenilen hatanın ne olduğunu da açıklayın. Mektubunuz gözden kaçmayacak, hata ya düzeltilecek ya da neden hata olmadığı size açıklanacak.

Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler verilmiştir. trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.

Bu yazıda trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmeye yeterli olan tüm temel trigonometrik formülleri sırayla listeleyeceğiz. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.

Sayfada gezinme.

Temel trigonometrik kimlikler

Temel trigonometrik kimlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.

Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.

Azaltma formülleri

Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca belirli bir açıyla kayma özelliğini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.

Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.

Toplama formülleri

Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesi için temel oluşturur.

İkili, üçlü vb. formüller. açı

İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.

Daha ayrıntılı bilgi ikili, üçlü vb. için makale formüllerinde toplanmıştır. açı

Yarım açı formülleri

Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.

Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.

Derece azaltma formülleri

Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller trigonometrik fonksiyonların doğal kuvvetlerinden birinci dereceden sinüs ve kosinüslere, ancak çoklu açılara geçişi kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller

Asıl amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok yararlı olan fonksiyonların çarpımına gitmektir. Bu formüller aynı zamanda sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza olanak tanıdığından trigonometrik denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılır.

Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller

Trigonometrik fonksiyonların çarpımından bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.

Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.

Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir

Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.site'nin hiçbir kısmı, iç materyaller ve görünüm de dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.