Dažymo puslapio kelias. Kelių dažymas (matematinis) Dažymo puslapiai su vaikų elgesio taisyklėmis miesto viešajame transporte ir autobusų stotelėse

Svetainės atnaujinimas
10.12.2006 15:46
Automobilių ir animacinių filmų gerbėjams - spalvinimo puslapiai iš animacinio filmo Automobiliai.

„Disney“ ir „Pixar“ dėka 2006 m. birželį visas pasaulis pamatė animacinį filmą, kuriame herojais tapo tik automobiliai.

Automobiliai animaciniame filme „Cars“ („Automobiliai“) gyvena įprastą gyvenimą – vienas veda gumos parduotuvę, kitas – tiuningo studiją, o kai kurie tiesiog gyvena savo malonumui, pavyzdžiui, hipis Fillmoras („Volkswagen T1“) ar jo draugas – a. Antrojo pasaulinio karo veteranas Serge'as (Willys). Pagrindinis paveikslo veikėjas McQueenas, pravarde „Žaibas“, svajoja tik apie lenktynes, pergales ir šlovę. Patekęs į garsiojo JAV greitkelio 66 Radiatorių rajoną, „žaliasis“ McQueenas iš karto visiems pasakoja, koks jis greitas ir kietas. Tačiau pirmasis startas NASCAR lenktynėse išsklaido jo iliuzijas. Išgyventi netektį herojui padeda draugai – senas Meiter vilkikas (GMC Pick-up), mentorius Doc Hudson (Hudson Hornet) ir mažasis Luigi (Fiat 600), svajojantis pamatyti tikrą Ferrari.

Na, kur be romantiškos gražuolės Sally (Porsche su žavia 911 tatuiruote)! Daugiausia jų dėka McQueenas vis tiek laimės lenktynes, įveikdamas pagrindinį varžovą Chico (Plymouth Hemi Cuda). Išsipildys ir Luigi svajonė – vieną dieną į jo parduotuvę užsuks „eržilas iš Maranello“ pasikeisti padangų, ką, beje, įgarsino pats „raudonasis baronas“ Michaelis Schumacheris.

Pastebėtina, kad tiek paveikslo kūrėjai, tiek jį išsakę asmenys yra su automobiliais susiję žmonės. Pavyzdžiui, režisierius Joe Lasseteris didžiąją vaikystės dalį praleido Chevrolet gamykloje, kur jo tėvas buvo vienas iš pagrindinių dizainerių. Jay Mays, pagrindinis koncerno „Ford“ dizaineris, dirbo konsultantu. Be jau minėto septyniskart Formulės 1 pasaulio čempiono Michaelio Schumacherio, herojus įgarsino NASCAR žvaigždės Richardas Petty ir Paulas Newmanas bei legendinis lenktynininkas Michaelas Andretti.

Buvo naudojamas tik originalus automobilio triukšmas – pavyzdžiui, specialiai lenktynių epizodams, garsas buvo įrašomas kelias savaites amerikietiškuose ovaluose per NASCAR varžybas. Paveikslui sukurti prireikė daugiau nei dvejų metų, kurio biudžetas buvo 70 milijonų JAV dolerių. Per šį laiką buvo sukurta 43 tūkstančiai skirtingų automobilių eskizų, o kiekvienas piešimas truko daugiau nei 17 valandų. Iš viso filme yra 120 automobilių personažų – nuo ​​naujų „Porsche“ ir „Ferrari“ iki senovinių „Ford T“.

Vaiko Kelių eismo taisyklių išmanymas yra viena pagrindinių jo saugumo gatvėje sąlygų. Daugelis pėsčiųjų, tarp jų ir suaugusieji, gana lengvabūdiškai laikosi šių taisyklių, kurios neretai tampa įvairaus sunkumo eismo įvykių priežastimi. Vaikai turi aiškiai suprasti, kad būdami gatvėje kaime jie yra visaverčiai kelio dalyviai, todėl Kelių eismo taisyklių laikymasis yra jų pareiga.

Spalvinimo puslapiai Kelio taisyklės vaikams.

Mokyti vaiką elgesio gatvėje (keliuose, šaligatviuose, miesto transporte) taisyklių reikėtų pradėti dar labai anksti, kol jis pats neišmoks vaikščioti ir bėgioti. Ir čia labai svarbus tėvų ir kitų suaugusiųjų, su kuriais vaikas yra gatvėje, pavyzdys. Kelių eismo taisykles privalote ne tik pasakyti ir paaiškinti vaikui, bet ir patys jų griežtai laikytis. Šiame puslapyje esantys kelių eismo taisyklių spalvinimo puslapiai pirmiausia skirti ikimokyklinukams ir padės vaikams išmokti elgesio kelyje, taip pat šalia jo, pagrindų.

1. Šviesoforo dažymo puslapis.

Geriausia vieta saugiai kirsti kelią yra šviesoforais įrengta pėsčiųjų perėja. Šviesoforo spalvinimo puslapiuose taip pat yra mažų eilėraščių, padedančių vaikams lengviau atsiminti naudojimo taisykles.

• Visada pradėkite važiuoti tik užsidegus žaliam šviesoforo signalui.
• Niekada nekirkite kelio degant raudonam arba geltonam šviesoforo signalui, net jei šalia nėra transporto priemonių.
• Įjungę žalią šviesą papildomai įsitikinkite, kad esate saugūs – žiūrėkite į kairę, tada į dešinę.

2. Pėsčiųjų perėjos spalvinimas.

Mokykite vaiką kirsti važiuojamąją dalį tik pėsčiųjų perėjoje. Pėsčiųjų perėjų spalvinimo puslapiai išmokys vaikus taisyklingai pereiti kelią. Perėja, kurioje nėra šviesoforo, vadinama nereguliuojama.

• Pėsčiųjų perėja kelio dangoje pažymėta zebru.
• Prieš kirsdami kelią, atidžiai jį apžiūrėkite, įsitikinkite, kad šalia nėra eismo.
• Pereikite kelią, nebėgkite.
• Nepereikite gatvės.
• Ypatingą dėmesį atkreipkite į stovinčias transporto priemones, kurios užstoja vaizdą.
• Nustokite kalbėti telefonu eidami per pėsčiųjų perėją.
• Jei šalia yra požeminių ar aukštųjų perėjų, būtinai jomis pasinaudokite, tokiose vietose eismas ypač intensyvus.

3. Šaligatviai.

Šaligatvis skirtas pėsčiųjų eismui. Skatinkite vaikus teisingai elgtis ant šaligatvių, ypač tuose, kurie yra intensyvaus eismo vietose.

• Važiuodami šaligatviu palei kelią, neprieikite per arti jo.
• Atidžiai stebėkite galimą automobilių išvažiavimą iš kiemų, alėjų.
• Nežaiskite kamuolio ant šaligatvio, nebėgkite.

4. Spalvinimo lapeliai su elgesio taisyklėmis vaikams miesto viešajame transporte ir autobusų stotelėse.

Šie spalvinimo puslapiai išmokys vaikus saugaus naudojimosi viešuoju transportu taisyklių.

• Viešojo transporto stotelė yra pavojinga vieta dėl galimo blogo kelio matomumo ir gausių žmonių, galinčių netyčia nustumti vaiką nuo šaligatvio į važiuojamąją dalį. Čia reikia būti ypač atsargiems.
• Prie transporto priemonės durelių eikite tik jam visiškai sustojus.
• Palikę transporto priemonę, eikite kirsti kelią tik jai išvažiavus iš stotelės.

Be šių pagrindinių kelių eismo taisyklių, vaikams bus įdomu spalvinti eismo ženklus. Pateikti spalvinimo puslapiai pagal Kelių eismo taisykles tinka mažyliams, ikimokyklinukams ir pradinių klasių mokiniams, taip pat naudoti darželiuose ir pamokose pradinėse klasėse. Visos nuotraukos su Kelių eismo taisyklėmis yra visiškai nemokamos – jas galima atsisiųsti ir atsispausdinti.

Galite ilgai užimti berniukus, jei pakviesite juos žaisti su mašinomis smėlio dėžėje. Bet kas, jei lauke šalta, vaikui nuobodu. Tokiu atveju galite atsisiųsti ir atsispausdinti šiuos automobilių kelių šablonus. Linksmybės prasidės iškirpus visus žiedus, posūkius ir tiesius kelius. Iš šių šablonų vaikas gali nutiesti bet kokios formos kelią, tereikia pasirūpinti, kad būtų atspausdintas reikiamas A4 formato lapų skaičius.

Atsisiųsti tiesus kelias automobiliams

Šių lapų prireiks labiausiai. Ant A4 formato lapo sudėjome 3 kelius, kuriuos reikia atsispausdinti ir iškirpti. Parodykite savo vaikui, kaip nupjauti kelią stačiu kampu, kad atkarpa būtų jam reikalingo ilgio.

Kelias automobiliams: žiedas

Norėdami sujungti kelius, jums reikės žiedo, kurio šablonas pateiktas aukščiau, ir pradėkite nuo jo kurti savo infrastruktūrą.

Automobilių kelias: Tiesus posūkis

Pateikti posūkiai leis berniukui kelią pasukti 90 laipsnių kampu, jam reikalinga kryptimi.

Ne staigus kelio posūkis automobiliams

Šis A4 formato šablonas padės pasukti kelią bet kokiu spinduliu.

(šis įrašas gali būti įdomus matematikos žinių turintiems skaitytojams ir simpatizatoriams)

Kitą dieną perskaičiau apie įdomią problemą iš grafų teorijos – kelio spalvinimo spėjimą. Šis spėjimas buvo atviras 37 metus, tačiau prieš trejus metus tai įrodė Izraelio matematikas Abrahamas Trachtmanas. Įrodymas pasirodė gana elementarus, ir su tam tikrais sunkumais (nes atrofavosi smegenys) sugebėjau jį perskaityti ir suprasti, net pabandysiu paaiškinti šiame įraše.

Problemą galima paaiškinti pavyzdžiu. Įsivaizduokite miesto žemėlapį, kuriame kiekvienoje sankryžoje galite eiti viena iš keturių krypčių – šiaurę, pietus, rytus ir vakarus. Jeigu automobilis startuoja kokioje nors sankryžoje ir laikosi kažkokio krypčių sąrašo – „šiaurė, šiaurė, rytai“ ir pan. - tada ji galiausiai atvyks į kitą sankryžą. Ar įmanoma rasti tokį nuorodų sąrašą, galbūt ilgą, kuris nuves automobilį į tą pačią vietą, nepaisant to, kur jis prasidėjo? Jei žemėlapis atrodo kaip Manhetenas – įprastas tinklelis – tada ne, bet gal jame daug aklagatvių ir netikėtų posūkių?

Arba kitas pavyzdys. Jūsų draugas įstrigo labirinte, kuriame turite rasti centrą, ir paskambino jums prašydamas pagalbos. Jūs žinote, kaip veikia labirintas, bet nežinote, kur yra jūsų draugas. Ar gali būti komandų seka, kuri neabejotinai nuves jūsų draugą į centrą, kad ir kur jis būtų?

Šiuose dviejuose pavyzdžiuose „kryptys“ kiekviename taške yra fiksuotos, o sprendimas arba egzistuoja, arba jo nėra. Tačiau bendresniu atveju ši problema klausia: jei galime pasirinkti, kur, pavyzdžiui, taškais „vakarai, šiaurė, rytai, pietūs“, kiekvienoje sankryžoje savaip, ar galime užtikrinti „sinchronizuojančio žodžio“ egzistavimą. “ – komandų seka, kuri iš bet kurios vietos nuves į vieną fiksuotą?

Bendruoju atveju tebūnie nukreiptas grafikas G – su „rodyklės“ briaunomis tarp viršūnių. Tegul šis grafikas turi vienodą išeinantį laipsnį d – tai reiškia, kad tiksliai d briaunos išeina iš kiekvienos viršūnės. Tuo pačiu metu kiekvieną atskirą viršūnę gali įvesti skirtingas skaičius, nebūtinai d. Tarkime, kad turime kokios nors abėcėlės d raidžių rinkinį, kurį pavadinsime „gėlėmis“. Tada grafo „spalvinimas“ suteikiamas kiekvienai viršūnei priskiriant visas d raides d jos išeinančių kraštinių. Taigi, jei esame „įsikūrę“ kokioje nors viršūnėje ir norime kur nors „eiti“ pagal spalvą α, tai spalvinimas visada nurodys, į kurią briauną turime eiti į kurią naują viršūnę. „Žodis“ yra bet kokia raidžių spalvų seka. Tada, jei grafike nurodyta spalva, o x yra kažkokia viršūnė, o w yra koks nors žodis, tada xw reiškia viršūnę, į kurią pateksime, pradedant nuo x ir po žodžio w.

Spalvinimo knyga vadinama sinchronizuojantis, jei yra žodis w, kuris veda bet kurią viršūnę x į vieną fiksuotą viršūnę x 0 . Šiuo atveju vadinamas w sinchronizuoti žodį. Kelių spalvinimo problemos užduodamas klausimas: ar visada yra sinchroninis dažymas? Ar visada galima nuspalvinti grafo briaunas taip, kad visas viršūnes būtų galima sumažinti iki vienos?

Ši problema taikoma keliose skirtingose ​​srityse, apie kurias galima perskaityti, pavyzdžiui, Vikipedijoje. Pavyzdžiui, kompiuterių moksle, automatų teorijoje. Grafą su spalva galima įsivaizduoti kaip deterministinę baigtinių būsenų mašiną, kurios viršūnės yra būsenos, o briaunos nurodo, kaip tarp jų naršyti. Tarkime, mes valdome šį automatą per atstumą, siųsdami komandas per kažkokį informacinį kanalą ir dėl kažkokio gedimo šis kanalas buvo užterštas, automatas gavo kažkokias klaidingas instrukcijas, o dabar mes iš viso nežinome, kokioje būsenoje jis yra. Tada, jei yra sinchronizavimo žodis, galime perkelti jį į žinomą būseną, nesvarbu, kur jis yra dabar.

Taigi, kada egzistuoja sinchroninis dažymas? Kelio spalvinimo spėjimas grafui nustato dar du apribojimus (be to, kad kiekviena viršūnė turi tiksliai d briaunas). Pirma, grafikas turi būti stipriai sujungtas, o tai reiškia, kad yra maršrutas iš bet kurios viršūnės į bet kurią kitą. Antra, grafikas neturi būti periodiškas. Įsivaizduokite, kad visas grafo viršūnes galima suskirstyti į aibes V 1 , V 2 , ... V n , kad bet kuri grafo briauna jungtų viršūnes iš kokių nors V i ir V i+1 arba V n ir V 0 . Tarp kiekvieno V viršūnių nėra briaunų, jos taip pat negali „šokinėti“ tarp bet kurio V, tik eilės tvarka. Toks grafikas vadinamas periodiniu. Aišku, kad toks grafikas negali turėti sinchronizuojančio spalvinimo, nes kad ir kaip spalvintum ir kokiais žodžiais eitum, dvi viršūnės skirtinguose V i niekada nesusijungs – jos apeis ciklą.

Kelių spalvinimo teorema sako, kad pakanka šių sąlygų: bet koks neperiodinis stipriai sujungtas nukreiptas grafikas su d briaunomis iš kiekvienos viršūnės turi sinchronizuojančią spalvą. Pirmą kartą jis buvo suformuluotas kaip spėjimas 1970 m., ir nuo tada buvo daug dalinių rezultatų, įrodančių ypatingus atvejus, tačiau išsamus įrodymas pasirodė tik 2007 m. Toliau papasakosiu beveik visą įrodymą (išskyrus vieną techninę lemą).

Periodiškumas

Visų pirma, pakeiskime neperiodiškumo sąlygą kita jai lygiaverte. Grafas yra periodinis tada ir tik tada, kai yra skaičius N>1, dalijantis bet kurio grafiko ciklo ilgį. Tie. mūsų neperiodiškumo reikalavimas yra tolygus sakymui, kad tokio N nėra, arba, kitaip tariant, didžiausias bendras visų grafiko ciklų ilgių daliklis yra 1. Įrodysime, kad bet kuris šią sąlygą tenkinantis grafikas turi sinchronizuojantis dažymas.

Įrodyti, kad periodiškumas yra lygiavertis sąlygai „yra N>1, iš kurios dalijasi bet kurio ciklo ilgis“, viena kryptimi yra trivialus, o kita – lengva. Jei norite tai priimti tikėjimu, galite lengvai praleisti likusią šios pastraipos dalį; tai neturi reikšmės likusiai įrodymo daliai. Jei grafikas yra periodinis, t.y. Kadangi galima padalinti viršūnes į aibes V 1 , V 2 , ... V n , kad tarp jų eitų briaunos cikle, tai akivaizdu, kad bet kurio ciklo ilgis turi dalytis iš n, t.y. nauja sąlyga įvykdyta. Tai yra triviali kryptis, bet mūsų pakeitimui mums reikia tik antrosios krypties. Tarkime, kad yra toks N>1, kuris padalija bet kurio ciklo ilgį. Pastatykime savo grafe kokį nors nukreiptą apimantį medį (apimantis medį), kurio šaknis yra viršūnėje r. Yra maršrutas į bet kurią šio medžio viršūnę x, pradedant nuo l(x) ilgio šaknies. Dabar tvirtiname, kad bet kuriai kraštinei p-->q grafe l(q) = l(p) + 1 (mod N). Jei šis teiginys teisingas, tai iš jo iš karto išplaukia, kad visas viršūnes galime padalinti į aibes V i pagal l(x) mod N, ir grafikas bus periodinis. Kodėl šis teiginys yra teisingas? Jei p-->q yra apimančio medžio dalis, tai akivaizdu, nes tada tiesiog l(q) = l(p) + 1. Jei taip nėra, tada rašome maršrutus nuo šaknies r iki viršūnės p,q kaip R p ir R q . Taip pat R r reiškia maršrutą iš q atgal į r grafike (grafas sujungtas, vadinasi, egzistuoja). Tada galime parašyti du ciklus: R p p-->q R r , ir R q R r . Pagal sąlygą šių ciklų ilgiai dalijasi iš N, atėmus ir panaikinus sumines reikšmes, gauname, kad l(p)+1 = l(q) mod N, kurią reikėjo įrodyti.

Stabili draugystė ir indukcija

Pateikiame tam tikrą grafiko G spalvinimą. Dvi viršūnes p,q vadiname draugais, jei koks nors žodis w atveda jas į tą pačią viršūnę: pw = qw. Pavadinkime p,q priešais, jei jie „niekada nesusitinka“. Pavadinkime p,q stabiliais draugais, jei įvykdę bet kurį žodį w jie lieka draugais: pw gali nepatekti į tą pačią viršūnę kaip qw, bet po kiek daugiau w" gali. Stabilūs draugai niekada netampa priešais.

Stabilumo ryšys tarp viršūnių, pirma, yra lygiavertiškumas (jis yra refleksinis, simetriškas ir tranzityvus), antra, jį išsaugo grafo struktūra: jei p,q yra stabilūs draugai, p yra sujungtas briauna su p. , q su q", o šie kraštai yra tos pačios spalvos, tada p" ir q" taip pat yra stabilūs draugai. Tai reiškia, kad draugystė yra stabili sutapimas ir gali būti suskirstytas į jį: sukurti naują grafą G", kurio viršūnės bus stabilios draugystės lygiavertiškumo klasės G. Jei G yra bent viena stabili pora, tai G" bus mažesnis už G dydį. Be to, jei pradiniame grafe G iš kiekvienos viršūnės turi d briaunų, tai G" bus taip pat. Pavyzdžiui, jei P yra naujo grafo viršūnė, kuri yra pirminių viršūnių p1, p2 ekvivalentiškumo klasė... , o α yra bet kokia spalva, tada briaunos p1--α--> q1, p2---α-->q2 ir tt visos veda į viršūnes q1, q2..., kurios yra stabilioje draugystėje su kiekviena. kitas, ir todėl yra vienoje naujoje viršūnėje Q, kad visos šios briaunos taptų nauja briauna P --α-->Q Ir taip toliau kiekvienai iš d spalvų.

Be to, jei G būtų neperiodinis, tada G" yra. Nes naudojant alternatyvų periodiškumo apibrėžimą, bet koks ciklas G virsta ciklu G", taigi, jei visi ciklo ilgiai G" dalijasi iš n > 1, tada tas pats galioja visiems G ciklams. Taigi G periodiškumas reiškia G periodiškumą.

Tarkime, kad G" pavyko rasti sinchronizuojantį dažymą. Dabar jį galima naudoti G vietoj spalvinimo, nuo kurio pradėjome: bet kuri briauna p-->q gaus naują spalvą pagal naują krašto spalvą P-->Q. Šiek tiek tiksliau, reikėtų pasakyti taip: kiekvienoje grafo G" viršūnėje P suteikiamas naujas atspalvis tam tikra visų spalvų permutacija π P: kraštas, nudažytas α spalva, gauna naują spalva π P (α). Tada pradiniame grafe G kiekvienoje viršūnėje p iš stabilumo klasės P taikome tą pačią permutaciją π P, kad pakeistume jo briaunas. Nauja grafiko G spalva paprastai apibrėžia kai kurias naujas „draugystės“, „priešiškumo“ ir „stabilumo“ sąvokas, kurios nėra identiškos pradinėms. Bet nepaisant to, jei dvi viršūnės p, q buvo stabilios draugės senojoje spalvoje – priklausė tai pačiai klasei P – tai naujojoje jos liks stabiliais draugais. Taip yra todėl, kad bet kuri seka w, atnešanti p,q į vieną viršūnę, gali būti „perkelta“ iš senosios spalvos į naują arba atvirkščiai, naudojant permutaciją π P kiekvienoje kelio viršūnėje p. Kadangi p,q yra stabilūs senajame kolorite ir tokie išlieka „visą kelią“, kiekviena tarpinė viršūnių pora p n , q n pakeliui iš p,q į bendrą viršūnę bus stabili, t.y. yra toje pačioje viršūnėje P n ir todėl gauna tą pačią permutaciją π P n .

Naujas dažymas sinchronizuojasi su G", t. y. tam tikra seka w visas viršūnes atveda į vieną viršūnę P. Jei dabar taikysime w naujai spalvai G, tada visos viršūnės susilieja kažkur "P viduje". Kaip nurodyta aukščiau, visos P klasėje esančios viršūnės išlieka stabilios naujoje spalvoje, o tai reiškia, kad dabar galime tęsti w, vėl ir vėl sujungti likusias viršūnių poras, kurios vis dar yra atskirtos, kol viskas susilieja į vieną viršūnę G. Taigi naujasis dažymas yra sinchronizuoja G.

Iš viso to išplaukia, kad norint įrodyti teoremą, pakanka įrodyti, kad bet kuriame sąlygas atitinkančiame grafike yra spalva, kurioje yra stabilių draugų pora. Nes tada iš grafo G galima pereiti prie grafo G" mažesnio, o jis taip pat atitinka visas sąlygas. Naudojant indukcinį argumentą, galime daryti prielaidą, kad mažesnio dydžio grafams problema jau išspręsta, o tada sinchronizuojama. spalvinimas G“ taip pat bus sinchronizuojamas su G .

Klikai ir maksimaliai rinkiniai

Bet kuriam grafo viršūnių ir žodžio w poaibiui Aw žymi viršūnių aibę, kurią pasieksime, pradedant nuo visų A viršūnių ir po žodžio w. Jei pradedame nuo visų grafo viršūnių apskritai, tai žymime Gw. Šiame žymėjime spalvinimo sinchronizavimas reiškia, kad yra w, kad Gw yra vieno elemento rinkinys.

Jei viršūnių aibė A turi kokią nors w formą Gw, o be to bet kurios dvi viršūnės A yra priešai, t.y. niekada nesutampa, vadinkime A klika. Klikos egzistuoja todėl, kad visada galime pradėti sveikuoju skaičiumi G, paimti porą draugų viršūnių, pereiti jas jungiančią w ir sumažinti viršūnių skaičių vienu; taip ir toliau, kol neliks tik priešų arba lieka tik viena viršūnė - taip pat šiuo atveju klika, tiesiog trivialus.

Jei A yra klika, tai bet kuriam žodžiui w Aw taip pat yra klika; tai aišku, nes priešai lieka priešais. Jei x yra bet kuri grafo viršūnė, tada yra klika, kurioje yra x. Tai išplaukia iš to, kad yra tam tikra klika A (žr. ankstesnę pastraipą); jei p jame yra viršūnė, tada yra žodis w, vedantis iš p į x, nes sujungtas grafikas; tada Aw yra klika, įskaitant x.

Paspaudimai padės mums įrodyti, kad yra spalvinimas su stabiliais draugais - pagal ankstesnį skyrių to pakanka teoremai įrodyti. Per visą šį skyrių įrodysime, kad jei yra dvi klikės A ir B, taigi visos jose esančios viršūnės yra bendros, išskyrus vieną A ir vieną B, tai šios dvi viršūnės yra stabilios draugės. Taigi problema susilpnėja iki dažymo, kuriame yra tokių A ir B klikų, paieška.

Norint geriau suprasti, kaip veikia klikos, pravartu grafiko viršūnėms priskirti svorius. Parodykime, kad turime būdą kiekvienai viršūnei x priskirti teigiamą svorį w(x), kad jei kuriai viršūnei x susumuokite visų viršūnių, kurių kraštinės yra x, svorius, tada gauname d*w(x), kur d yra kiekvienos viršūnės briaunų skaičius. Tai išplaukia iš tiesinės algebros, ir jei nežinote, kas yra savoji reikšmė, praleiskite likusią šios pastraipos dalį ir paimkite, kad toks w(x) yra tikėjimas. Jei M yra grafo G matrica (ląstelė (i,j) yra 1, jei yra briauna i-->j, ir 0, jei tokios briaunos nėra), tada w(x), kaip aš juos aprašiau, yra savojo vektoriaus elementai palikoši matrica savajai reikšmei d. Žinome, kad toks vektorius egzistuoja, nes d yra savoji reikšmė: jis turi trivialų savąjį vektorių Dešinėje(1,1,....1) - tai iš karto išplaukia iš to, kad iš kiekvienos viršūnės išeina lygiai d briaunos.

Jei A yra bet kuri viršūnių aibė, tai w(A) reiškia visų A viršūnių svorių sumą; o w(G) yra visų grafiko viršūnių svorių suma. Be to, jei s yra bet koks žodis, tada tegul As -1 žymi viršūnių rinkinį, į kurį patenkate iš A, jei einate "priešinga kryptimi" palei s, kiekviename žingsnyje kiekvieną viršūnę pakeisdami tomis viršūnėmis (jei tokių yra). kad eina į jį atitinkama spalva.

Dabar panagrinėkime visas viršūnių aibes, kurias galima sujungti į vieną tašką, t.y. A toks, kad kai kurių w atveju Aw yra tik viena viršūnė. Tos aibės A, kurios iš visų tokių turi didžiausią svorį w(A), vadinamos maksimaliomis aibėmis. Jei spalvinimas yra sinchronizuojamas, tai visas grafikas G yra maksimali aibė (unikali), bet kitu atveju taip nėra.

Jei A yra bet koks viršūnių rinkinys, tada visų w(Aα -1), kur α eina per visas d spalvas, suma yra lygi d*w(A) – tai tik pagrindinės svorio savybės apibendrinimas iš vieno viršūnė į viršūnių aibę A. Jei, be to, A yra didžiausia aibė, tai kiekvienas iš w(Aα -1) negali būti didesnis už w(A), nes šios aibės taip pat susilieja į vieną viršūnę. O kadangi šių svorių suma d yra lygi d*w(A), išeina, kad kiekvienas iš jų lygus w(A), ir visos šios aibės taip pat yra maksimalios. Tai iš karto reiškia, kad jei A yra didžiausias, tai Aw -1 taip pat yra maksimalus bet kuriam žodžiui w.

Maksimalūs rinkiniai yra naudingi, nes jų atskirti egzemplioriai gali apimti visą grafiką. Įrodykime tai.

Turėkime aibę maksimalių aibių A 1 ...A n, kurios nesikerta poromis ir yra redukuojamos į pavienes viršūnes a 1 ...a n tuo pačiu žodžiu w (pradiniu atveju bus n=1 ir tik vienas rinkinys, todėl jį lengva pradėti). Aišku, kad visi a 1 ...a n skiriasi vienas nuo kito, nes kitu atveju būtų galima dar labiau išplėsti maksimalią aibę kitos, turinčios tą pačią galutinę viršūnę, elementų sąskaita. Tarkime, kad visi A i kartu dar neišnaudojo visų G viršūnių, ir tegul x yra viršūnė už visų A i ribų. Kadangi grafikas yra sujungtas, yra tam tikras maršrutas h nuo a 1 iki x. Tada n maksimalių aibių A i h -1 w -1 eina žodžiu whw į galutines viršūnes a 1 ...a n , o maksimali aibė A 1 eina į kurią nors viršūnę Awhw = (Aw)hw = (a 1 h)w = xw. Ši viršūnė xw taip pat turi skirtis nuo visų a 1 ...a n , nes kitu atveju maksimali aibė A i gali būti užbaigta elementu x. Ir kadangi visos šios n + 1 aibės - visos A i h -1 w -1 plius A 1 - eina išilgai whw į skirtingas viršūnes, jos visos yra poromis nejungtos. Tęsime šį išplėtimą tol, kol už aibės ribų neliks viršūnių.

Taigi visą grafą G galime padengti disjunktinėmis maksimaliomis aibėmis. Kadangi jie yra didžiausi, jie visi turi tą patį bendrą w max , todėl jų skaičius aprėptyje yra N max = w(G)/w max .

Dabar apsvarstykite bet kurį rinkinį A, sudarytą iš porinių priešų. Pavyzdžiui, klikas yra tokios aibės pavyzdys (ir taip pat turi formą Gw). Maksimalaus rinkinio viduje negali būti priešų poros, nes tada ji negalėtų suartėti. Vadinasi, N maksimalaus aibės aprėptyje kiekvienoje yra ne daugiau kaip vienas A narys, taigi A dydis yra daugiausia N max . Visų pirma, tai yra viršutinė bet kurios klikos dydžio riba.

Tegu A yra Gw formos klika, kur w yra koks nors žodis. Tada G = Aw -1 ir atitinkamai w(G) yra lygus sumai w(aw -1), kur a eina per visas A viršūnes. Terminų skaičius pagal ankstesnę pastraipą yra ne didesnis kaip N max , o kiekviena aibė aw -1 gali būti sumažinta iki vieno taško (iki taško a su žodžiu w), todėl jo svoris nėra didesnis už didžiausią w max . Kadangi visa suma yra w(G) = N max *w max , darome išvadą, kad terminų skaičius yra tiksliai N max , o kiekvienas narys yra tiksliai w max . Įrodėme, kad visi paspaudimai yra vienodo dydžio: lygiai N maks. elementų.

Tebūnie dvi klikai A ir B, kad A viduje visi elementai būtų bendri su B, išskyrus vieną: |A| - |A∩B| = 1.

Kadangi A ir B yra vienodo dydžio, mes taip pat turime |B| - |A∩B| = 1, t.y. A ir B visi elementai yra bendri, išskyrus vieną A viršūnę p ir vieną B viršūnę q. Norime įrodyti, kad šios viršūnės p,q yra stabilios draugės. Jei taip nėra, tai koks nors žodis w juos paverčia priešais, t.y. pw ir qw yra priešai. Kaip parodyta aukščiau, Aw ir Bw taip pat yra klikos, ir akivaizdu, kad jie vėl turi bendrų elementų, išskyrus priešus pw ir qw. Tada rinkinys Aw ∪ Bw yra porinių priešų rinkinys. Iš tiesų, jame visi Aw elementai yra poriniai priešai, nes tai yra klika; tas pats pasakytina ir apie elementus Bw; ir liko tik pora pw, qw - irgi priešai. Tačiau šis rinkinys turi N max +1 elementų, o aukščiau mes parodėme, kad bet koks porinių priešų rinkinys negali turėti daugiau nei N max elementų. Tai yra prieštaravimas, todėl pw ir qw negali būti jokio w priešai. Kitaip tariant, p ir q yra stabilūs draugai.

Grafikai ir klikai

Paimkime visas duotosios grafo G viršūnes ir iš kiekvienos viršūnės parinksime tik vieną išeinančią briauną. Toks pasirinkimas apibrėžia pografą, kurį vadiname apimantis grafikas(aprėpiantis grafikas). Gali būti daug skirtingų apimančių grafikų, bet šiek tiek pagalvokime, kaip jie atrodo. Tebūnie koks nors apimantis grafas R. Jei paimsime bet kurią viršūnę x ir pradėsime sekti jos briaunas, tai kiekvieną kartą turėsime vienintelį pasirinkimą, nes R iš kiekvienos viršūnės išeina tik viena briauna, ir anksčiau ar vėliau mes išeiname. uždaryti ciklą. Galbūt šis ciklas užsidarys ne ties x, o užsidarys kažkur „toliau“ – pavyzdžiui, x-->y-->z-->s-->y. Tada nuo x nuves „uodega“ į šį ciklą. Jei pradėsime nuo kokios nors kitos viršūnės, taip pat tikrai prieisime prie ciklo – šio ar kitokio. Pasirodo, bet kuri R viršūnė yra cikle (kurių gali būti keletas), arba yra „uodegos“, vedančios į ciklą, dalis. Tai reiškia, kad R atrodo taip: tam tikras skaičius ciklų ir ant jų pastatytas tam tikras skaičius „apverstų“ medžių: kiekvienas medis neprasideda, o baigiasi „šaknimi“, kuri guli viename iš ciklų.

Kiekvienai grafo viršūnei galime priskirti lygiu, atitinkantį jo atstumą nuo ciklo duotame aprėpties grafike R. Viršūnių, esančių cikle, lygis yra 0, o viršūnės, esančios ant medžio, prijungto prie ciklo, gauna lygį, lygų atstumui jų medyje iki „šaknies “ guli ant dviračio. Kai kurios mūsų grafo viršūnės turi maksimalų lygį L. Galbūt jis apskritai lygus 0 – t.y. medžių nėra, tik dviračiai. Galbūt jis yra didesnis nei nulis, o šio didžiausio lygio viršūnės yra ant visų rūšių skirtingų medžių, sujungtų su skirtingais ciklais arba su vienu.

Norime pasirinkti apimantį grafą R taip, kad visos didžiausio lygio viršūnės yra tame pačiame medyje. Intuityviai galima tikėti, kad tai galima padaryti, nes jei taip nėra – pavyzdžiui, jie išsibarstę po skirtingus medžius – tuomet galima pasirinkti vieną iš tokių maksimalių viršūnių x ir padidinti jos lygį, pritvirtinant prie R kažkokią briauną. prie x. Tada teks išmesti kažkokį kitą kraštelį ir neaišku, ar dar kažkam nepakenks... bet tai techninė problema, apie tai vėliau. Tiesiog bandau pasakyti, kad tai intuityviai neatrodo labai sudėtinga.

Šiuo metu tarkime, kad R galime pasirinkti taip, kad visos didžiausio lygio viršūnės būtų tame pačiame medyje. Manoma, kad šis medis yra netrivialus, t.y. maksimalus lygis L > 0. Remdamiesi šia prielaida, sukonstruosime spalvinimą su klikais A ir B, tenkinantį ankstesnės dalies sąlygą, ir tai įrodys, kad šis dažymas turi stabilią draugų porą.

Dažymas bus toks: pasirenkame kokią nors spalvą α, ir visas grafo R briaunas nuspalviname šia spalva, o visas kitas grafo G briaunas - bet kokiomis kitomis spalvomis (jei yra tik viena). spalva, tada R sutampa su G, todėl nėra problemų). Taigi žodžiai, sudaryti iš α spalvos, „perkelia“ R viršūnes išilgai savo medžių ciklų link, o paskui juos perkelia išilgai ciklų. Mums reikia tik tokių žodžių.

Tegul x yra bet kuri didžiausio lygio L viršūnė R, o K yra bet kuri klika, apimanti x; žinome, kad tokia klika egzistuoja. Ar K gali apimti kitą didžiausio lygio L viršūnę? Remiantis mūsų prielaida, visos tokios viršūnės yra tame pačiame medyje kaip ir x, o tai reiškia, kad žodis α L nuveda jas į tą pačią vietą kaip ir x – būtent į šio medžio šaknį, gulinčią ant ciklo. Vadinasi, visos tokios viršūnės yra x draugai ir todėl negali būti su juo vienoje klikoje. Todėl, be x, K gali apimti tik žemesnio lygio viršūnes.

Pažiūrėkime į aibę A = Kα L-1 . Tai taip pat yra klika, ir joje visos viršūnės, išskyrus x, pasiekė kai kuriuos savo ciklus R, nes visos A viršūnės, išskyrus x, turi mažesnį lygį nei L. Tik x vis dar yra už ciklo ribų, lygiai 1 atstumu iki jo šaknies cikle. Dabar paimkime skaičių m, kuris yra visų R ciklo ilgių kartotinis – pavyzdžiui, visų ciklo ilgių sandauga. m turi tokią savybę, kad jei viršūnė y yra R cikle, tai žodis α m grąžina ją į vietą: yα m = y. Pažiūrėkime į kliką B = Aα m . Visos A viršūnės, išskyrus x, gulėjo ant ciklų, todėl liko ten B; ir tik x pagaliau įstojo į savo ciklą ir ten kažkur apsigyveno. Tai reiškia, kad A ir B sankirtoje yra visos A viršūnės, išskyrus vieną: |A| - |A∩B| = 1. Bet tai tik reiškia, pagal ankstesnį skyrių, kad mūsų dažymas turi stabilią porą, o tai turėjo būti įrodyta.

Maksimalaus lygio kūrimas.

Belieka įrodyti, kad visada galima pasirinkti apimantį grafą R tokį, kad jo netrivialus maksimalus lygis L > 0, o visos šio lygio viršūnės būtų tame pačiame medyje.

Dalis šio įrodymo yra gana nuobodi ir techniška lema, kurią perskaičiau ir išbandžiau, bet neperdėsiu, tiesiog pasakysiu, kur ji yra straipsnyje tiems, kam įdomu. Bet aš jums pasakysiu, kaip pasiekti šią lemą.

Mums reikės dviejų apribojimų, kuriuos galime taikyti grafikui G. Pirma, sakome, kad G nėra kilpų, t.y. briaunos nuo viršūnės iki tos pačios viršūnės. Esmė ta, kad jei grafike yra kilpa, tai labai lengva rasti sinchronizuojančią spalvą kitu būdu. Nudažykime šią kilpą kokia nors spalva α, o tada, eidami iš šios viršūnės priešinga kryptimi „prieš rodykles“, nuspalvinsime kraštus taip, kad spalva α visada vestų į šią viršūnę. Kadangi grafikas yra sujungtas, tai lengva išdėstyti, o tada ciklas užtikrina, kad tam tikra α galia atves visą grafiką į šią viršūnę.

Toliau tarkime, kad iš kurios nors viršūnės p visos d briaunos veda į tą pačią viršūnę q. Tai leidžia sąlygos, tačiau šiuo atveju šią briaunų rinkinį vadinsime ryšulėlis. Antrasis mūsų apribojimas yra toks: nėra viršūnės r, į kurią dvi nuorodos veda iš skirtingų viršūnių p ir q. Kodėl mes galime tai primesti? Nes jei yra nuorodos iš p ir q į r, tai bet kokiam spalvinimui p,q susilies į viršūnę r po pirmosios spalvos, todėl jie yra stabilūs draugai. Taigi šiuo atveju mums nereikia visos apimančių grafikų ir klikų konstravimo, mes iš karto gauname stabilius draugus. Todėl galime manyti, kad taip nėra.

Galiausiai, įrodykime, kad visada egzistuoja apimantis grafikas R, kuriame ne visos viršūnės yra cikluose, bet yra keletas netrivialių medžių. Mes pasirenkame tam tikrą R ir manome, kad visos jos viršūnės yra cikluose. Jei grafe G visos briaunos gulėtų ryšuliais – t.y. visada visos d briaunos, išeinančios iš vienos viršūnės, veda į tą pačią viršūnę - tada pasirinkus R tektų pasirinkti vieną kraštą iš kiekvieno pluošto. Tokiu atveju R gali būti tik vienas ciklas (juk keli R ciklai negali būti sujungti vienas su kitu sujungtame grafe G – visos G briaunos jungia tik tas pačias viršūnes kaip ir R briaunos, nes šios yra raiščiai - ir kadangi G yra sujungtas, tai neįmanoma), o bet kuris ciklas G tiesiog pasirenka kitas briaunas iš šio ciklo grandžių, bet iš tikrųjų tai yra tas pats ciklas, tokio pat ilgio. Bet tai reiškia, kad visų G ciklų ilgiai dalijasi iš šio ilgio, o tai tiesiog prieštarauja G neperiodiškumui. Todėl negali būti, kad visos G briaunos guli ant kaklaraiščių, o tai reiškia, kad yra dvi briaunos p -- >q R, o p-->s už R ribų (reikėjo ilgai ginčytis dėl konnektyvų, kad įrodytume, jog kuri nors briauna iš p ne tik neglūdi aprėpiančiame grafe, bet ir veda į kitą viršūnę s). Tada p-->q pakeičiame p-->s ir tai „nutrauks“ ciklą, sukurdamas jame kažkokią nereikšmingą uodegą. Ši uodega naujajame grafike suteiks mums nereikšmingą medį.

Dabar iš visų besitęsiančių grafų R, turinčių netrivialius medžius, galime pasirinkti kokį nors R, kuris turi didžiausią ciklų viršūnių skaičių. T.e. jis turi ne ciklų viršūnes, bet, be šio apribojimo, ciklų viršūnių skaičius yra maksimalus. Šis grafikas turi keletą maksimalaus L lygio viršūnių ir galime manyti, kad jos yra ant medžių, vedančių į skirtingas šaknis, kitaip mes jau pasiekėme tai, ko mums reikia. Mes pasirenkame vieną tokią viršūnę x. Grafą norime pakeisti taip, kad ši viršūnė taptų ilgesnio maršruto medyje, ilgesnio už L, dalimi, o likę medžiai nesikeistų, o tada maksimalus lygis būtų tik viename medyje, kuris yra tai, ko mes norime. Grafiką galite keisti trimis būdais:

a) paimkite kokią nors kraštinę y-->x ir pridėkite prie R, o ten esančią kraštinę y-->z atmeskite;
b) paimkite kraštą b-->r, kuris yra tik paskutinis kelyje nuo x iki jo ciklo (r cikle), ir atmeskite jį bei pridėkite kitą b-->z.
c) paimkite kraštą c-->r, kuris yra ciklo dalis, ir išmeskite jį bei pridėkite kitą c-->z.

Trachtmano straipsnio 7 lema išsamiai įrodo, kad vienas (arba kai kuriais atvejais du) iš šių pakeitimų veda prie norimo rezultato. Procesas naudoja ir R maksimalumą (jei koks nors pokytis veda į grafiką su didesniu ciklų viršūnių skaičiumi nei R, tai prieštarauja jo maksimaliumui), ir aukščiau apibrėžtą sąlygą, kad nėra viršūnės, į kurią veda dvi jungtys. Dėl to bet kuriuo atveju gauname grafą R, kuriame visos maksimalaus lygio viršūnės yra viename netrivialiame medyje.

Atnaujinkite po savaitės: nepaisant to, nusprendžiau padaryti šį įrašą visiškai savarankišku ir taip pat perpasakoti lemos įrodymą, apie kurį minėjau ankstesnėje pastraipoje. Geriau tai padaryti su diagrama, bet nenoriu jos piešti ar išplėšti iš straipsnio, todėl pabandysiu žodžiais. Taigi, įsivaizduokime, kad turime tęstinį grafą R, kuriame yra netrivialių medžių, o iš visų tokių grafų didžiausias viršūnių skaičius jame guli ant ciklų. Siekiame R transformuoti į apimantį grafą, kuriame visos didžiausio lygio viršūnės yra tame pačiame medyje; kai tik bandydami gauname tokį grafą, iškart baigiame (ir mums nesvarbu, kad maksimalus grafas pagal viršūnių skaičių cikluose gali būti prarastas, mums tai nėra svarbu, mes jį naudojame tik procese). Tegul x yra didžiausio lygio L viršūnė, T – medis, ant kurio jis yra, r – ciklo C viršūnė, kurioje T baigiasi, b-->r paskutinė briauna prieš r kelyje nuo x iki ciklo C. Galime daryti prielaidą, kad prie šio ciklo dar yra prisijungusių medžių ar kitų, turinčių L lygio viršūnes – kitu atveju viskas jau padaryta. Iš to išplaukia, kad jei pavyksta gauti medį iš T, kurio elementas yra didesnis nei L, ir nepailginti šių kitų medžių, tada baigsime.

Pirmiausia pabandykime atlikti operaciją a) aukščiau: paimkime kokią nors briauną y-->x G – ji egzistuoja, nes grafikas yra sujungtas ir be kilpų, o ne R, nes x maksimalus lygis. Pridėkime prie R ir išmeskime šiek tiek y-->z, kuris ten buvo anksčiau. Jei y guli ant medžio T, tai y-->x uždaro naują ciklą, o naujame grafe daugiau viršūnių guli ant ciklų, ir dar yra netrivialių medžių (bent jau tie kiti, kurie buvo R), kurie prieštarauja R maksimalumui. Jei y nėra ant T, o y-->z nėra ciklo C dalis, tai ištrynus y-->z šis ciklas nenutrūksta, o pridėjus y-->x pailgėja maksimalus medžio lygis T bent vienu, o kiti medžiai nepailgėja, todėl baigiame. Likęs variantas, kai y-->z guli ant ciklo C, kuris dabar nutrūko, ir susidarė naujas ciklas: nuo r iki y, tada y-->x, tada nuo x iki r palei buvusį medį. Šio ciklo ilgis yra l(ry)+1+L, o senojo ciklo C ilgis buvo l(ry)+1+l(zr). Naujas ciklas negali būti ilgesnis už senąjį, tai prieštarauja R maksimalumui, todėl matome, kad L ≤ l(zr), t.y. maršruto ilgis nuo z iki r senojoje kilpoje. Kita vertus, naujajame grafe viršūnės z lygis dabar yra bent l(zr), o jei jis didesnis nei L, tada baigsime. Taigi galime daryti prielaidą, kad l(zr)=L. Apibendrinant: darome prielaidą, kad a) neveikia, ir tada žinome, kad y-->z yra cikle C, l(zr) = L.

Dabar pabandykime operaciją b): pakeiskite kraštą b-->r į kitą kraštą b-->d. Pažiūrėkime, kur yra nauja viršūnė d. Jei ant medžio T, tai mes sukūrėme naują ciklą, nesulaužydami ankstesnio, ir paneigėme R maksimalumą. Jei kitame medyje, tada didžiausios T viršūnės, įskaitant x, dabar turės didesnį nei L lygį, o kiti medžiai nebus, ir mes baigėme. Jei kitame cikle, o ne C, dabar atliksime a) kartu su b) ir a): kadangi žinome, kad y-->z yra ant C, tai ši operacija sulaužys C, bet ne naują ciklą, į kurį dabar jis yra sujungtas medis Τ, o šio medžio viršūnės dabar bus didesnės nei L, ir vėl viskas.

Likęs variantas yra tada, kai b-->d taip pat yra prijungtas prie ciklo C, kitoje vietoje nei r, arba toje pačioje vietoje ir tada d=r. Pakeitę b-->r į b-->d, gavome tokią pačią situaciją kaip ir iš pradžių – medis T, L lygio mazgas x ir t.t. - tik medis dabar prijungtas prie ciklo per viršūnę d. Atsižvelgdami į dabar operaciją a), darome išvadą (darant prielaidą, kad ji neveikia), kad l(zd) = L, kaip ir anksčiau padarėme išvadą, kad l(zr) = L. Bet jei l(zd)=l( zr), t.y. atstumas išilgai ciklo nuo z yra toks pat iki d ir r, tada tai ta pati viršūnė: d=r. Taigi, jei b) neveikia, tai bet kuri briauna iš b turi vesti į r, t.y. briaunos iš b sudaro ryšulį.

Galiausiai apsvarstykite kraštinę c-->r, esančią cikle C. Kadangi galime daryti prielaidą, kad visos kraštinės iš b yra ant nuorodos, vedančios į r, taip pat galime taikyti aukščiau minėtą apribojimą, kad negali būti dviejų nuorodų, vedančių į viena viršūnė, ne visos briaunos nuo c veda į r, bet yra tam tikra briauna c-->e. C-->r pakeiskime c-->e. Kur gali būti viršūnė e? Ne ant medžio T, nes tai „pratęstų“ ciklą C, prieštaraujantį R maksimalumui. Taigi e yra kitame medyje arba kitame cikle, ar net tame pačiame cikle C, bet ne viršūnėje r . Tada medis T, kol jis nėra prijungtas prie ciklo, dabar pratęsiamas bent viena briauna, išeinančia iš r, o gal ir daugiau (tik viena, jei e yra iškart po r, o c--> e vėl uždaro ciklą C, iš jo išvedant tik r). Tai reiškia, kad viršūnės x ir kitų maksimalių viršūnių T lygis dabar yra bent L + 1, o kiti medžiai nepailgėjo ir vėl turime tai, ko mums reikia.

Jūs esate kelių dažymo puslapyje. Jūsų žiūrimas spalvinimo puslapis mūsų lankytojų apibūdintas taip "" Čia rasite daug spalvinimo puslapių internete. Galite atsisiųsti kelių dažymo puslapius ir taip pat juos atsispausdinti nemokamai. Kaip žinote, kūrybinė veikla vaidina didžiulį vaidmenį vaiko vystymuisi. Jie suaktyvina protinę veiklą, formuoja estetinį skonį ir skiepija meilę menui. Paveikslėlių spalvinimo kelio tematika procesas lavina smulkiąją motoriką, atkaklumą ir tikslumą, padeda daugiau sužinoti apie mus supantį pasaulį, supažindina su visa spalvų ir atspalvių įvairove. Kiekvieną dieną į savo svetainę pridedame naujų nemokamų spalvinimo puslapių berniukams ir mergaitėms, kuriuos galite nuspalvinti internetu arba atsisiųsti ir atsispausdinti. Patogus katalogas, sudarytas pagal kategorijas, padės lengviau rasti tinkamą paveikslėlį, o didelis spalvinimo puslapių pasirinkimas leis kasdien rasti vis naują įdomią spalvinimo temą.