Düzlemsel ve hacimsel gerilme durumu. Her gün

DÜZLEM GERİLİM DURUMU

Ders 15

Tüm noktaları düzlemsel gerilimli durumda olan bir yapıya örnek olarak, kendi düzleminde yer alan kuvvetler tarafından uçlarından yüklenen ince bir plaka verilebilir. Plakanın yan yüzeyleri, kalınlığının küçük olması nedeniyle gerilimsiz olduğundan, plakanın içinde, yüzeyine paralel alanlardaki gerilmelerin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu varsayabiliriz. Benzer bir durum, örneğin ince duvarlı profile sahip şaftların ve kirişlerin yüklenmesi sırasında ortaya çıkar.

Genel durumda, düzlemsel gerilim durumundan bahsederken, yapının tamamını kastetmiyoruz, yalnızca elemanının dikkate alınan noktasını kastediyoruz. Belirli bir noktadaki gerilim durumunun düz olduğunun bir işareti, üzerinden geçen ve üzerinde gerilim olmayan bir platformun varlığıdır. Bu tür noktalar, özellikle gövdenin dış yüzeyindeki yüklerden arındırılmış ve çoğu durumda tehlikeli olan noktalar olacaktır. Dolayısıyla bu tür stresli durumların analizine gösterilen özen anlaşılabilir.

Düz gerilimli bir durumda temel bir paralel boruyu tasvir ederken, yüksüz yüzlerinden birini çizim düzlemiyle hizalayarak göstermek yeterlidir (Şekil 15.1).Daha sonra elemanın yüklü yüzleri, elemanın sınırları ile aynı hizada olacaktır. gösterilen alan. Bu durumda, gerilimlere ilişkin gösterim sistemi ve işaret kuralları aynı kalır; şekilde gösterilen gerilim durumunun bileşenleri pozitiftir. Teğetsel gerilmelerin eşleştirilmesi yasasını dikkate alarak

T xy = T yx Düzlem gerilim durumu (PSS), üç bağımsız bileşenle tanımlanır - s X, S sen, T xy. .

DÜZLEMSEL GERİLİM DURUMUNDA EĞİK PLATFORMLAR ÜZERİNDEKİ GERİLİMLER

Şekil 2'de gösterilen elemandan seçim yapalım. 15.1, üçgen prizma, onu çizim düzlemine dik eğimli bir bölümle zihinsel olarak kesiyor xOy. Rampanın ve ilgili eksenlerin konumu X 1 , sen 1, eksenler saat yönünün tersine döndürüldüğünde pozitif kabul edilecek olan a açısı kullanılarak ayarlanacaktır.

Yukarıda açıklanan genel duruma gelince, Şekil 2'de gösterilmektedir. Şekil 15.2'ye göre, gerilmelerin bir noktada fakat farklı yönelimli alanlarda etkili olduğu düşünülebilir. Eğik platformdaki gerilimleri prizmanın denge koşulundan buluyoruz ve bunları verilen gerilimler cinsinden ifade ediyoruz. X, S sen, T xy koordinat düzlemleriyle çakışan yüzlerde. Eğik yüzün alanını gösterelim dA ise koordinat yüzlerinin alanları aşağıdaki gibi bulunur:

dAx = dAçünkü bir ,

dA y = dA günah A .

Prizmanın yüzlerine etki eden kuvvetleri eksene yansıtalım. X 1 ve sen 1:

Ortak bir faktörle azaltma dA ve temel dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz:

bunu dikkate alırsak

ifadeler (15.1) aşağıdaki son formda verilebilir:

İncirde. 15.3, orijinaliyle birlikte eksenler boyunca yönlendirilmiş sonsuz küçük bir eleman gösterilmiştir. X 1 ey 1. Eksene dik yüzlerindeki gerilmeler X 1 formül (15.2) ile belirlenir. Eksene dik bir yüzdeki normal gerilimi bulmak için senŞekil 1'de a açısı yerine a + 90° değerini kullanmak son derece önemlidir:

Döndürülmüş bir koordinat sisteminde teğetsel gerilimler X 1 sen 1 eşleştirme kanununa uyun, yani.

Hacimsel gerilim durumunun analizinden bilindiği gibi normal gerilimlerin toplamı onun değişmezlerinden biridir ve bir koordinat sistemini bir başkasıyla değiştirirken sabit kalmalıdır. Bu, (15.2), (15.3) formüllerinden belirlenen normal gerilmelerin eklenmesiyle kolayca doğrulanabilir:

TEMEL GERİLİMLER

Daha önce, kayma gerilmelerinin olmadığı alanlara ana alanlar, üzerlerindeki gerilmelere de ana gerilmeler denildiğini tespit etmiştik. Düzlem gerilim durumunda, ana bölgelerden birinin konumu önceden bilinir - üzerinde gerilimin olmadığı bölge, ᴛ.ᴇ. çizim düzlemi ile birleştirilir (bkz. Şekil 15.1). Ona dik olan ana platformları bulalım. Bunu yapmak için, (15.1)'de teğetsel gerilimi sıfıra eşitliyoruz;

a 0 açısı ana bölgeye normalin yönünü gösterir veya ana yön, bununla bağlantılı olarak buna denir ana açı.Çift açının tanjantı periyodu p/2 olan periyodik bir fonksiyon olduğundan açı

a 0 + p/2 aynı zamanda bir asal açıdır. Ancak toplamda üç ana platform vardır ve hepsi birbirine diktir. Bunun tek istisnası, üç ana alanın değil de sonsuz sayıda alanın olduğu durumdur - örneğin, çok yönlü sıkıştırmada, seçilen herhangi bir yön ana yön olduğunda ve gerilimler noktadan geçen tüm alanlarda aynı olduğunda .

Ana gerilmeleri bulmak için, formüllerden ilkini (15.2) kullanabileceğinizi, a açısı yerine sırayla a 0 ve değerlerini kullanabileceğinizi söylemekte fayda var.

Burada dikkate alınan

Eğer iyi bilinen eşitliği kullanırsak, trigonometrik fonksiyonlar ifadelerden (15.5) çıkarılabilir.

Ayrıca formülü (15.4) de dikkate alın. Sonra alırız

Formüldeki artı işareti ana gerilimlerden birine, eksi işareti ise diğerine karşılık gelir. Bunları hesapladıktan sonra, s 1'in cebirsel olarak en büyük ve s 3'ün cebirsel olarak en küçük gerilim olduğunu hesaba katarak, s 1, s 2, s 3 asal gerilimleri için kabul edilen gösterimi kullanabilirsiniz. Başka bir deyişle, (15.6) ifadelerinden bulunan her iki ana vurgu da pozitif çıkarsa, şunu elde ederiz:

Her iki voltaj da negatifse,

Son olarak, eğer ifade (15.6) farklı işaretlerle gerilme değerlerini veriyorsa, o zaman asal gerilmeler eşit olacaktır.

NORMAL VE DEĞİŞEN GERİLİMLERİN EN YÜKSEK DEĞERLERİ

Eksenleri zihinsel olarak döndürürseniz X 1 senŞekil 1'e ve bunlarla ilişkili elemana (bkz. Şekil 15.3) göre, yüzeylerindeki gerilimler değişecek ve a açısının belirli bir değerinde normal gerilim maksimuma ulaşacaktır. Karşılıklı dik alanlardaki normal gerilmelerin toplamı sabit kaldığından, gerilme o anda en küçük olacaktır.

Sitelerin bu konumunu bulmak için, ekstremum ifadesini, a argümanının bir fonksiyonu olarak dikkate alarak incelemeniz gerekir:

Parantez içindeki ifadeyi (15.2) ile karşılaştırdığımızda istenilen noktalarda teğetsel gerilmelerin sıfıra eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Ancak normal gerilmeler tam olarak ana bölgelerde aşırı değerlere ulaşır.

En büyük teğetsel gerilimi bulmak için eksenleri hizalayarak ana alanları başlangıç ​​alanları olarak alırız. X Ve sen ana yönleriyle. Şimdi a açısının s 1 yönünden ölçüleceği formüller (15.1) şu şekli alacaktır:

Son ifadeden, teğetsel gerilmelerin en büyük değerlerine ana bölgelere 45° döndürülmüş alanlarda ulaştığı anlaşılmaktadır.

günah 2a = ±1. Maksimum değerleri eşittir

Formül (15.8)'in aşağıdaki durumlarda da geçerli olduğuna dikkat edin:

DÜZ GERİLİM DURUMUNUN GRAFİKSEL GÖSTERİMİ. MORA'NIN ÇEVRELERİ

Ana alana göre belirli bir α açısı ile döndürülen bir alan üzerindeki gerilmeleri belirleyen formüller (15.7), net bir geometrik yoruma sahiptir. Kesinlik açısından her iki ana gerilimin de pozitif olduğunu varsayarak aşağıdaki gösterimi kullanırız:

Daha sonra (15.7) ifadeleri, σ ve τ koordinatlarındaki bir dairenin parametrik denkleminin tamamen tanınabilir biçimini alacaktır:

Gösterimdeki “α” indeksi, gerilimlerin orijinale belirli bir açıyla döndürülmüş alanda bulunduğunu vurgular. Büyüklük A dairenin merkezinin σ ekseni üzerindeki konumunu belirler; dairenin yarıçapı R. Şekil 2'de gösterilmiştir. Şekil 15.5'te, dairesel gerilim diyagramına geleneksel olarak Mohr çemberi denir ve adını onu öneren ünlü Alman bilim adamı Otto Mohr'dan (1835 - 1918 ᴦ.ᴦ.) alır. Dikey eksenin yönü işaret dikkate alınarak seçilir τ (15.10)'daki α. α açısının her değeri temsil eden bir noktaya karşılık gelir k (σ α, τ α ) koordinatları döndürülen alandaki gerilimlere eşit olan bir daire üzerinde. Dönme açısının 90˚ farklı olduğu karşılıklı dik platformlar noktalara karşılık gelir k Ve kÇapın zıt uçlarında yatıyor.

Burada dikkate alınan

çünkü (15.2) ve (15.7) formülleri, açı 90 0 değiştiğinde, eksenlerden birinin orijinal eksen yönünde çakıştığı ve diğerinin ters yönde olduğu döndürülmüş bir koordinat sisteminde kayma geriliminin işaretini verir. (Şekil 15.5)

Ana siteler başlangıç ​​siteleri olarak hizmet veriyorsa, ᴛ.ᴇ. σ 1 ve σ 2 değerleri biliniyorsa, Mohr dairesi 1 ve 2 noktaları kullanılarak kolayca oluşturulur. Dairenin merkezinden daire ile kesişme noktasında yatay eksene 2a açıyla çizilen bir ışın , koordinatları döndürülen alan üzerinde istenen gerilimlere eşit olan temsili bir nokta verecektir. Bu durumda, kirişi bir açıyla yönlendirerek dairenin sözde direğini kullanmak daha uygundur. Bir dairenin yarıçapı ile çapı arasındaki bariz ilişkiden, çizimde harfle gösterilen direk A, bu durumda 2. noktaya denk gelecektir. Genel durumda kutup, normallerin orijinal konumlarla kesiştiği noktada bulunur. Başlangıç ​​alanları ana alanlar değilse, Mohr çemberi şu şekilde oluşturulur: temsil eden noktalar σ - t düzleminde çizilir k (σ X,T xy) Ve k’(σ sen,-T xy), dikey ve yatay başlangıç ​​alanlarına karşılık gelir. Düz bir çizginin noktalarını birleştirerek, dairenin merkezini σ ekseni ile kesişme noktasında buluruz ve ardından pasta grafiğinin kendisi oluşturulur. Dairenin yatay eksenle kesişimi asal gerilmelerin değerini verecektir ve yarıçap, en büyük kayma gerilmesine eşit olacaktır. İncirde. Şekil 15.7, ana konumlar olmayan başlangıç ​​konumlarından oluşturulan Mohr dairesini göstermektedir. Kutup A normallerin orijinal pedlere kesiştiği noktadadır K.A. Ve k’A. ışın sabah Direkten yatay eksene a açısıyla çizilen daire ile kesişme noktasında temsil eden bir nokta verilecektir. M(σ a ,t a), koordinatları ilgilendiğimiz alandaki stresleri temsil eder. Kutuptan 1 ve 2 noktalarına çekilen ışınlar asal açıları a 0 ve a 0 +90 0'ı gösterecektir. Ancak Mohr daireleri düzlemsel gerilim durumunu analiz etmek için uygun bir grafik araçtır.

b) 45 0 döndürülen elemanın kenarındaki gerilim (15.1) ile bulunur.

Dik bir alanda normal stres

(a = 45 0 +90 0) şuna eşit olacaktır:

c) (15.8)'i kullanarak en büyük teğetsel gerilmeleri buluruz.

2. Grafik çözümü.

Temsil eden noktaları kullanarak Mohr dairesini oluşturalım k(160.40) ve k’ (60, -40)

Daire direği A normallerin orijinal alanlara kesiştiği noktada bulacağız.

Daire yatay ekseni 1 ve 2 noktalarında kesecektir. 1. nokta, σ 1 = 174 MPa asal gerilime karşılık gelir, 2. nokta ise σ 2 = 46 MPa asal gerilim değerine karşılık gelir. Direkten yürütülen ışın A 1 ve 2 numaralı noktalar aracılığıyla ana açıların değeri gösterilecektir. Orijinal bölgeye göre 45 0 döndürülen sahadaki gerilimler, temsil eden noktanın koordinatlarına eşittir M, kutuptan çekilen ışınla dairenin kesiştiği noktada bulunur A 45 0 açıyla. Gördüğümüz gibi stres durumu analizi sorununun grafiksel çözümü analitik çözümle örtüşmektedir.

İki eksenli veya düz Bir cismin tüm noktalarında temel gerilimlerden birinin sıfıra eşit olduğu gerilimli durumudur. Gevşek ve yüksüz uçları olan prizmatik veya silindirik bir gövdede (Şekil 17.1), eksene normal bir dış kuvvet sistemi gövdenin yan yüzeyine uygulanırsa, düzlemsel bir gerilim durumunun ortaya çıktığı gösterilebilir* Oz ve bağlı olarak değişiyor z ikinci dereceden yasaya göre orta bölüme göre simetriktir. Görünüşe göre vücudun tüm kesitlerinde

ve voltaj a x, a y, x bağlı olarak değişir z ayrıca ikinci dereceden yasaya göre orta kesite göre simetriktir. Bu varsayımların getirilmesi, probleme koşulları (17.13) ve esneklik teorisinin tüm denklemlerini karşılayan bir çözüm elde etmeyi mümkün kılar.

Gerilimlerin değişkene bağlı olmadığı özel durum ilgi çekicidir. z'-

Böyle bir gerilimli durum, yalnızca uzunluk boyunca eşit olarak dağıtılan bir yükün etkisi altında mümkündür. Hooke yasasının (16.3) formüllerinden, e x, e y, e z, y deformasyonlarının da aşağıdakilere bağlı olmadığı sonucu çıkar: z, ve deformasyonlar y ve y zx(17.13) dikkate alındığında sıfıra eşittir. Bu durumda deformasyon süreklilik denklemlerinin (16.4), (16.5) dördüncü ve beşincisi aynı şekilde sağlanır ve ikinci, üçüncü ve altıncı denklemler formu alır.

Bu denklemlerin entegre edilmesi ve Hooke yasasının (16.3) formüllerinden üçüncüsünün dikkate alınması bir z = 0, elde ederiz

Santimetre.: Timoşenko S.P., Goodyear J. Esneklik teorisi. M.: Nauka, 1975.

Bu nedenle, gövdenin uzunluğu boyunca sabit bir yüzey yüküyle yüklenen, serbest uçları olan prizmatik veya silindirik bir gövdede düzlemsel gerilme durumu, yalnızca gerilmelerin toplamının belirlendiği özel durumda mümkündür. a x + a y x ve değişkenlerine bağlı olarak değişir en doğrusal veya sabit.

Gövdenin uç düzlemleri arasındaki mesafe (Şekil 7.1) bölümlerin boyutlarına kıyasla küçükse, o zaman dış kontur boyunca simetrik olarak dağıtılan kuvvetlerle yüklenen ince bir plaka (Şekil 17.5) durumumuz vardır. ikinci dereceden bir yasaya göre plakanın orta düzlemi. Plaka kalınlığından beri H küçükse, hafif bir hatayla, medyan düzleme göre stres plakası üzerindeki herhangi bir simetrik yük için bunu varsayabiliriz. a x, a v, txv kalınlığı boyunca eşit olarak dağılmıştır.

Bu durumda gerilmeler, örneğin kalınlık üzerinden ortalama değerleri olarak anlaşılmalıdır.

Ayrıca, varsayım (17.14) getirilirken, stresin sıfır olması için koşulların (17.13) dikkate alındığı da belirtilmelidir.

(17.13) ve (17.14) varsayımlarıyla ince bir levhanın gerilimli durumunun dikkate alınan durumu genellikle denir. genelleştirilmiş düzlem stres durumu.

Bu durum için esneklik teorisinin temel denklemlerini ele alalım.

(17.13) dikkate alınarak Hooke yasasının (16.3) formülleri şu şekilde yazılacaktır:

Karşılık gelen ters ilişkiler şu şekildedir:

Düzlem şekil değiştirme için formüller (17.17) ve (17.18), Hooke yasasının (17.7) ve (17.9) formüllerinden elastik modül yerine yalnızca ikincisinde farklılık gösterir. e ve Poisson oranı v verilen değerleri içerir E ( ve v r

Düzlem deformasyon için denge denklemleri, Cauchy bağıntıları, deformasyon süreklilik denklemi ve statik sınır koşulları karşılık gelen denklemlerden (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) farklı değildir.

Düzlem gerinim ve genelleştirilmiş düzlem gerilim durumu esasen aynı denklemlerle tanımlanır. Tek fark Hooke yasası formüllerindeki elastik sabitlerin değerlerindedir. Bu nedenle, her iki görev de ortak bir adla birleştirilmiştir: Esneklik teorisinin düzlem problemi.

Bir düzlem problemi için tam denklem sistemi iki denge denkleminden (17.10), üç geometrik Cauchy ilişkisinden (17.3) ve Hooke yasasının (17.7) veya (17.17) üç formülünden oluşur. Sekiz bilinmeyen fonksiyon içerirler: üç voltaj a x, a y, % xy,üç deformasyon e x, e y, y xy ve iki hareket Ve Ve Ve.

Eğer bir problemin çözümü yer değiştirmelerin belirlenmesini gerektirmiyorsa bilinmeyenlerin sayısı altıya düşürülür. Bunları belirlemek için altı denklem vardır: iki denge denklemi, Hooke yasasının üç formülü ve deformasyon süreklilik denklemi (17.11).

Ele alınan iki tip düzlem problemi arasındaki temel fark şudur: Düzlem gerilimi için ? z = 0,z * 0 ve değer cz xio ile ilgili gerilmeler belirlendikten sonra formül (17.6) kullanılarak bulunabilir. Genelleştirilmiş bir düzlem gerilim durumu altında bir z = 0, ? z Ф 0 ve deformasyon ? z stres cinsinden ifade edilebilir x ve kuruluş birimi formül (17.16)'ya göre. Hareketli w Cauchy denkleminin integrali alınarak bulunabilir

Esneklik teorisinin temelleri

Ders 4

Esneklik teorisinin düzlem problemi

Slayt 2

Esneklik teorisinde pratik uygulamalar açısından önemli olan ve aynı zamanda çözümün matematiksel yönünün önemli ölçüde basitleştirilmesine izin veren geniş bir problem sınıfı vardır. Basitleştirme, bu problemlerde cismin koordinat eksenlerinden birinin, örneğin z ekseninin göz ardı edilebileceği ve tüm olayların, yüklü cismin x0y koordinat düzleminde meydana geldiğinin kabul edilebileceği gerçeğinde yatmaktadır. Bu durumda gerilimler, gerinimler ve yer değiştirmeler iki koordinatın (x ve y) fonksiyonu olacaktır.

İki koordinatta ele alınan bir probleme ne ad verilir? esneklik teorisinin düzlem problemi.

"" terimi altında esneklik teorisinin düzlem problemi“fiziksel olarak farklı iki problemi birleştirerek çok benzer matematiksel bağımlılıklara yol açar:

1) düzlemsel deforme olmuş durum sorunu (düzlem deformasyonu);

2) düzlemsel gerilim durumu sorunu.

Bu problemler çoğunlukla, söz konusu gövdelerin bir geometrik boyutu ile diğer iki boyutu arasındaki önemli farkla karakterize edilir: ilk durumda büyük uzunluk ve ikinci durumda küçük kalınlık.

Düzlem gerilimi

Vücudun tüm noktalarının hareketleri bir düzlemde yalnızca iki yönde meydana gelebiliyorsa ve bu düzlemin normal koordinatına bağlı değilse deformasyona düz denir.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)

Düzlemsel deformasyon, z eksenine paralel bir eksene sahip uzun prizmatik veya silindirik gövdelerde meydana gelir; bu gövde boyunca, yan yüzey boyunca, bu eksene dik ve büyüklüğü değişmeyen bir yük etki eder.

Düzlem deformasyonun bir örneği, uzun düz bir barajda ve bir yeraltı tünelinin uzun kemerinde meydana gelen gerilim-gerinim durumudur (Şekil 4.1).

Şekil – 4.1. Baraj gövdesinde ve yer altı tünelinin çatısında düzlemsel deformasyon meydana gelir.

Slayt 3

Yer değiştirme vektörünün (4.1) bileşenlerini Cauchy formülleri (2.14), (2.15) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

(4.2)

Z ekseni yönünde doğrusal deformasyonların olmaması, normal σ z gerilmelerinin ortaya çıkmasına neden olur. ε z deformasyonu için Hooke yasasının (3.2) formülünden şu sonuç çıkar:

buradan σz gerilimine ilişkin ifadeyi elde ederiz:

(4.3)

Bu ilişkiyi Hooke yasasının ilk iki formülünde yerine koyarsak şunu buluruz:

(4.4)

Slayt 4

(4.2) − (4.4) ve (3.2) formüllerinin analizinden ayrıca şu sonuç çıkar:

Böylece düzlemsel deformasyon durumunda üç boyutlu elastikiyet teorisinin temel denklemleri önemli ölçüde basitleştirilmiştir.

Navier dengesinin (2.2) üç diferansiyel denkleminden yalnızca iki denklem kaldı:

(4.5)

üçüncüsü ise kimliğe dönüşüyor.

Kosinüs yönü yan yüzeyin her yerinde olduğundan n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, bu durumda yüzeydeki (2.4) üç koşuldan yalnızca iki denklem kalır:

(4.6)

burada l, m dış normalin yön kosinüsleridir v kontur yüzeyine;

X,Y,X v,Y v– sırasıyla x ve y eksenlerindeki hacimsel kuvvetlerin bileşenleri ve dış yüzey yüklerinin yoğunluğu.

Slayt 5

Altı Cauchy denklemi (2.14), (2.15) üçe indirgenir:

(4.7)

Saint-Venant deformasyonları (2.17), (2.18) için altı süreklilik denkleminden bir denklem kalır:

(4.8)

geri kalanı da kimliğe dönüşüyor.

(4.2), (4.4) dikkate alındığında, Hooke yasasının (3.2) altı formülünden üç formül kalır:

Bu ilişkilerde, geleneksel esneklik teorisi biçimi için yeni elastik sabitler tanıtılmıştır:

Slayt 6

Düzlem stres durumu

Aynı prizmatik gövdenin uzunluğu diğer iki boyutla karşılaştırıldığında küçük olduğunda düzlemsel gerilim durumu ortaya çıkar. Bu durumda buna kalınlık denir. Vücuttaki gerilmeler xOy koordinat düzleminde yalnızca iki yönde etki eder ve z koordinatına bağlı değildir. Böyle bir cismin bir örneği, yan yüzey (nervür) boyunca plaka düzlemine paralel kuvvetlerle yüklenen ve kalınlığı boyunca eşit olarak dağıtılan h kalınlığında ince bir plakadır (Şekil 4.2).

Şekil 4.2 – İnce levha ve ona uygulanan yükler

Bu durumda düzlem deformasyon problemindekine benzer basitleştirmeler de mümkündür. Plakanın her iki düzlemindeki gerilim tensör bileşenleri σ z, τ xz, τ yz sıfıra eşittir. Plaka ince olduğundan plakanın içinde sıfıra eşit olduklarını varsayabiliriz. Daha sonra gerilimli durum yalnızca z koordinatına bağlı olmayan, yani plakanın kalınlığı boyunca değişmeyen, yalnızca x ve y'nin fonksiyonları olan σ x, σ y, τ xy bileşenleri tarafından belirlenecektir. .

Böylece ince bir plakada aşağıdaki gerilme durumu ortaya çıkar:

Slayt 7

Gerilmelerle ilgili olarak, düzlem gerilme durumu düzlem gerinimden şu koşula göre farklılık gösterir:

Ek olarak, Hooke yasasının (3.2) formülünden, (4.10)'u hesaba katarak, doğrusal deformasyon ε z için bunun sıfıra eşit olmadığını elde ederiz:

Sonuç olarak, yer değiştirmeler ortaya çıkacağından plakanın tabanları kavisli olacaktır. z ekseni boyunca.

Bu varsayımlar altında, düzlem deformasyonunun temel denklemleri: diferansiyel denge denklemleri (4.5), yüzeydeki koşullar (4.6), Cauchy denklemleri (4.7) ve deformasyon süreklilik denklemleri (4.8), düzlem gerilim durumu probleminde aynı formu korur. .

Hooke yasasının formülleri aşağıdaki formu alacaktır:

Formüller (4.11), Hooke yasasının düzlem deformasyonuna ilişkin formüllerinden (4.9) yalnızca elastik sabitlerin değerlerinde farklılık gösterir: E ve E 1 , v Ve v 1 .

Slayt 8

Ters formda Hooke yasası şu şekilde yazılacaktır:

(4.12)

Böylece, bu iki problemi (düzlem deformasyonu ve düzlemsel gerilim durumu) çözerken, aynı denklemleri kullanabilir ve problemleri esneklik teorisinin tek bir düzlem probleminde birleştirebilirsiniz.

Esneklik teorisinin düzlem probleminde sekiz bilinmeyen vardır:

– u ve v yer değiştirme vektörünün iki bileşeni;

– gerilim tensörünün üç bileşeni σ x, σ y, τ xy;

– deformasyon tensörünün üç bileşeni ε x, ε y, γ xy.

Sorunu çözmek için sekiz denklem kullanılır:

– iki diferansiyel denge denklemi (4.5);

– üç Cauchy denklemi (4.7);

– Hooke yasasının (4.9) veya (4.11) üç formülü.

Ek olarak, ortaya çıkan deformasyonlar, deformasyonların sürekliliği denklemine (4.8) uymalı ve gövde yüzeyinde, iç gerilmeler ile X dış yüzey yükünün şiddetleri arasındaki denge koşulları (4.6) sağlanmalıdır. v,Y v.

Söz konusu noktadan geçen alanlardan birindeki düzlemsel gerilim durumunda, teğetsel ve normal gerilimler sıfıra eşittir. Bu alanı çizim düzlemi ile birleştirelim ve bu noktanın yakınındaki gövdeden yan yüzleri çizim düzlemine dik ve yüksekliği (çizime dik yönde) sonsuz küçük (temel) üçgen prizma seçelim. düzlemi) prizmanın tabanlarına eşit olan dik üçgenlerdir (Şekil 2.3, a).

Seçilen prizmaya, vücuttan ayrılmadan önce ona etki eden aynı gerilimleri uygulayalım. Seçilen prizmanın tüm boyutlarının sonsuz derecede küçük olması nedeniyle, yan yüzleri boyunca teğetsel ve normal gerilmelerin düzgün dağıldığı ve yüzlerine paralel uzanan alanlardaki gerilmelere eşit olduğu düşünülebilir.

Eksenleri ve y'yi (çizim düzleminde) prizmanın yüzleriyle hizalayarak bir koordinat sistemi seçelim (Şekil 2.3, a). U eksenine ve y eksenine paralel olan gerilmeleri gösterelim.

Gerilmelerin etki ettiği yüze a açısıyla eğimli bir prizmanın yan yüzü boyunca normal gerilmeleri belirtiriz.

Aşağıdaki işaret kuralını kabul edelim. Normal çekme gerilmesi pozitiftir ve basma normal gerilmesi negatiftir. Bir prizmanın yan yüzü boyunca teğetsel gerilim, eğer onu temsil eden vektör prizmayı bu yüzün iç normali üzerinde bulunan herhangi bir noktaya göre saat yönünde döndürme eğilimindeyse pozitiftir. Prizmanın (üzerine gerilimin uygulandığı) yüzü, (üzerine gerilimin uygulandığı) yüzle hizalamak için bu açı boyunca saat yönünün tersine döndürülürse açı a pozitiftir. İncirde. 2.3 ve a açısının yanı sıra tüm gerilmeler pozitiftir.

Gerilmelerin her birini, etki ettiği yüzün alanıyla çarparak, karşılık gelen yüzlerin ağırlık merkezlerine uygulanan Tu ve Ta konsantre kuvvetlerinden oluşan bir sistem elde ederiz (Şekil 2.3, b):

Cisimden ayrılan prizma dengede olduğundan bu kuvvetlerin tüm denge denklemlerini sağlaması gerekir.

Aşağıdaki denge denklemlerini oluşturalım:

Etki çizgileri noktadan (koordinat sisteminin orijininden) geçtiği için kuvvetler denklem (4.3)'e dahil edilmemiştir.

Eşitliklerden (1.3) ifadeleri ve T'yi denklem (4.3)'e değiştirerek şunu elde ederiz:

Sonuç olarak, birbirine dik iki alan boyunca kayma gerilmeleri mutlak değer olarak eşit ve işaret olarak zıttır. Aradaki bu ilişkiye teğet stres eşleşmesi kanunu denir.

Teğetsel gerilimlerin eşleştirilmesi yasasından, karşılıklı olarak iki dik alanda, teğetsel gerilimlerin ya bu alanların kesişme çizgisine doğru (Şekil 3.3, a) ya da ondan uzağa (Şekil 3.3, b) yönlendirildiği anlaşılmaktadır.

Eşitliklerden (1.3) gelen kuvvet ifadelerini (2.3) ve (3.3) denklemlerine koyalım:

Şunu hesaba katarak bu denklemleri azaltalım (bkz. Şekil 2.3, a):

Şimdi onu [bkz. formül (5.3)]:

Formüller (6.3) ve (7.3), belirli bir noktadan geçen herhangi bir alandaki normal ve kayma gerilmelerinin değerlerini, eğer buradan geçen karşılıklı olarak dik olan herhangi iki alandaki gerilmeler biliniyorsa, belirlemeyi mümkün kılar.

Formül (6.3)'ü kullanarak, biri için a açısının diğeri için a'ya eşit olduğu karşılıklı iki dik alandaki normal gerilmelerin toplamını belirleriz.

yani karşılıklı iki dik alandaki normal gerilmelerin değerlerinin toplamı sabit bir değerdir. Sonuç olarak, normal gerilmeler bu alanlardan birinde maksimum değere sahipse, diğerinde minimum değere sahiptir.

Gerilimli durumu incelerken, gerilimler öncelikle incelenen cismin noktasından geçen karşılıklı üç dik alan boyunca belirlenir.

Bu alanlardan birinin stressiz olduğu ortaya çıkarsa stresli durum düzdür. Şekil 2'de gösterilen üç alan ve bunlara paralel diğer üç alanla gövdeden ayrılan, paralel boru şeklindeki sonsuz küçük bir eleman gösterilmektedir. 4.3, s. Genellikle, elemanın gerilimsiz alanla çakışan bir düzlem üzerine izdüşümü olan bir dikdörtgen (veya kare) olarak tasvir edilir (Şekil 4.3b). Paralel borunun birbirine dik iki yan yüzündeki gerilim değerlerini belirtmek yeterlidir.

Belirli bir noktadan geçen bir çift karşılıklı dik alanda değil, birkaçında ortaya çıkan gerilimleri göstermek gerekiyorsa, karşılık gelen dikdörtgenler (veya kareler), örneğin Şekil 2'de gösterildiği gibi gösterilebilir. 4.3, c.

Karşılıklı olarak dik iki alandaki gerilimlerden, herhangi bir alandaki gerilimler [formüller (6.3) ve (7.3) kullanılarak] hesaplanabilir; dolayısıyla bu gerilimleri gösteren şekil (örneğin 4.3, b, c) bir noktadaki gerilimli durumun görüntüsü olarak düşünülebilir.

Herhangi bir stres durumu, birkaç stres durumunun toplamı olarak düşünülebilir (gerilme süperpozisyonu ilkesi). Örneğin, Şekil 2'de gösterilen stres durumu. 5.3, a, Şekil 5.3'te gösterilen gerilme durumlarının toplamı olarak düşünülebilir. 5.3, b, c.

Plaka düzleminde yer alan kuvvetlerin etkisi altında ince bir plaka düşünelim (Şekil 2.12). Bu düzleme (x, y) koordinat sistemini yerleştireceğiz. Plakanın uç (ön) yüzeyleri gerilimsizdir ve bu nedenle

Stres vektörleri ve aynı düzlemde bulunur ve stres durumuna düzlem denir. Plakanın tüm noktalarının düzlemsel gerilimli durumda olduğuna dikkat edin. Genel olarak “düzlem gerilme durumu” kavramı, bir yapı elemanında söz konusu noktayı ifade eder.

Belirli bir A noktasında (normal ve teğetsel) gerilimlerin bulunmadığı bir alan varsa, o zaman noktadaki gerilim durumu düzlemdir. Örneğin, bir parçanın serbest yüzeyindeki noktalarda (Şekil 2.13), gerilim durumu düz olacaktır (A noktasındaki z ekseni yüzeye dik olarak yönlendirilir).

Düzlem gerilme durumunun özel önemi, genellikle "tehlikeli noktalar" olan yapısal elemanların yüzeyindeki noktalarda gerçekleşmesinden kaynaklanmaktadır. (yüzey katmanında en yüksek gerilime sahip noktalar).

Düzlem gerilme durumunda eğik alanlardaki gerilmeler. Plaka düzlemine dik eğik alanlardaki gerilmeleri inceleyelim (Şekil 2.14).

Pirinç. 2.12. Düzlem stres durumu

Pirinç. 2.13. Parçanın serbest yüzeyinin noktalarındaki düzlemsel gerilim durumu

Geleneksel "eğik" veya "eğimli" saha terimi, sahanın normalinin seçilen koordinat sisteminin herhangi bir ekseni ile çakışmadığı anlamına gelir.

v'nin x ekseni ile a açısı yaptığı normal olan BC alanına normal ve kayma gerilmeleri etki eder. Gerilmeler h plakasının kalınlığı boyunca düzgün olarak dağılmıştır, ABC elemanının uç yüzleri yüklenmemiştir. Acil görev, ABS elemanının denge koşullarından miktarları belirlemektir. Tüm çabaları normal v yönüne doğru yansıtırsak, şunu buluruz:

Elemana etki eden kütle kuvvetleri;

ikinci dereceden küçüklükteki çabaları oluşturur ve denklemde (15) yoktur. Şekil 2'den bunu göz önünde bulundurarak. 2.14 takip ediyor

ilişkiden elde ederiz (15)

Tüm çabaları bulacağımız vektörün yönüne yansıtıyoruz

Formüller (17) ve (19), eğik alandaki normal ve kayma gerilmelerinin değerini verir.

Notlar. 1. Denklemler (15) ve (18) türetilirken, denge koşullarının gerilmeler için değil (böyle koşullar yoktur!), ancak elemanın kenarları boyunca etki eden kuvvetler için dikkate alındığı kesinlikle anlaşılmalıdır.

2. Gerilmeler, temel hacmin kenarları boyunca eşit olarak dağılmıştır (Şekil 2.14). Eğik bir alan, temel bir paralelyüzde eğik bir bölüm olarak düşünülebilir (Şekil 2.15) ve paralelyüzün gölgeli kısmının denge koşullarından aynı sonuçlar (eşitlikler (17) ve (19)) çıkar.

3. Belirli bir işaret kuralının benimsendiği bilinmeyen vektör niceliklerinin çıkarım yapılırken pozitif yönde olduğu varsayılmalıdır. Örneğin, Şekil 2'de. 2.14 çekme gerilmesi olarak yönlendirilir.